Najlepsza odpowiedź
Cóż, tak. Nie jestem pewien, jak godny jest to dowód, ale w geometrii euklidesowej definiujesz proste równoległe w następujący sposób:
Mówimy, że AB \ parallel CD \ iff \ angle {FEB} = \ angle {EFC}.
Teraz zakładamy odwrotnie – że AB i CD spotykają się, powiedzmy, w punkcie P na prawo od GH ( dla pewności; zawsze możesz założyć, że P jest po lewej stronie GH). Następnie w \ bigtriangleup {EFP}, \ angle {P} = 0 ^ o. Co oznaczałoby, że AB i CD pokrywają się (co oczywiście jest nieprawdą). Skąd, AB i CD nie mogą się spotkać.
To tylko połowa dowodu – gdzie pokazujemy, że równoległe proste nie mogą się spotkać. Aby udowodnić, że linie, które się nie spotykają, są równoległe, rozważ poniższy diagram:
Jeśli AB i CD nie spotykają się, wtedy musi być prawdą, że EF = GH. Ponadto EF \ parallel GH według konstrukcji, co oznacza, że \ angle {FEG} = \ angle {EGH}. Wherece \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ implies \ angle {HEG} = \ angle {EGF} \ implies AB \ parallel CD.
Odpowiedz
Jeśli a linia jest równoległa do płaszczyzny, będzie prostopadła do wektora normalnego płaszczyzny (tak jak każda inna linia zawarta w płaszczyźnie lub równoległa do płaszczyzny).
(Zauważ, że używam „prostopadły ”Tutaj, nie w tym sensie, że koniecznie się przecinają, ale w tym sensie, że ich wektory byłyby ustawione pod kątem 90 stopni, gdyby były umieszczone obok siebie)
Aby sprawdzić, czy dwa wektory są prostopadłe, wystarczy weź ich iloczyn skalarny. Jeśli jest równe 0, to są prostopadłe.
Na przykład, jeśli mamy płaszczyznę: 2x + 3y – 4z = 7 (wektor normalny byłby tutaj <2,3, -4>)
I chcemy się dowiedzieć, czy prosta: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t, jest równoległa do niej, potrzebujemy tylko iloczynu skalarnego wektora prostej (<1, -2, -1>) i wektor normalny płaszczyzny.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
W tym przypadku linia i płaszczyzna są równoległe.
Jeśli chcemy użyć tej samej płaszczyzny, ale porównajmy to z linią: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, to otrzymamy:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14
Widzimy więc, że te dwa elementy nie będą równoległe.