Najlepsza odpowiedź
\ frac {d} {dx} nie jest „rzeczą”. Powinieneś myśleć o tym tak, jakby to była nazwa akcji, operacji lub funkcji, która pobiera jedno wejście. [1]
W szczególności, jeśli f (x) jest funkcją, możemy chcieć wykonać akcję różnicowania na tej funkcji; jednym ze sposobów zapisania tej akcji jest \ frac {d} {dx} f (x). Oznacza to, że f (x) jest danymi wejściowymi do operacji różnicowania względem x.
Gramatycznie więc \ frac {d} {dx} nie jest „pełnym zdaniem” lub nawet rzeczownik samowystarczalny. To bardziej przypomina czasownik, który potrzebuje dopełnienia bezpośredniego. Tym dopełnieniem bezpośrednim może być dowolna funkcja x – w szczególności, jeśli y jest funkcją x, to \ frac {d} {dx} y ma sens . W języku angielskim to wyrażenie oznacza „wynik wzięcia pochodnej-względem-x-y”. Dla zwięzłości, zwykle piszemy to jako \ frac {dy} {dx}, ale dopóki nie poczujesz się komfortowo notację \ frac {d} {dx}, sugeruję, abyś kontynuował zapisywanie danych wejściowych do operacji różniczkowania z prawej strony, tak jak to robiłem.
Do drugiego pytania: reguła łańcucha jest metoda obliczania pochodnej zbioru funkcji.
[1] Tak, wiem, funkcje też są rzeczami.
Odpowiedź
Niech f będzie funkcja:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) gdzie x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Niech „s oblicz \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Różniczkując (1) otrzymujemy:
(2) df = \ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ częściowe f } {\ częściowy x\_ {n}} dx\_ {n}
Jeśli podzielimy obie strony przez dt, otrzymamy:
df = \ frac {\ częściowy f} {\ częściowy x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Otrzymujemy wynik końcowy:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ częściowy f} {\ częściowy x\_ {1}} x „\_ {1} (t) + … + \ frac {\ częściowy f} {\ częściowy x\_ {n}} x „\_ {n} (t) To wyprowadzenie odbywa się za pomocą definicji funkcji różniczkowej funkcji wielu zmiennych (równanie (2)).
Więc jak otrzymaliśmy tę definicję? Zobaczmy najpierw, jak zdefiniujemy różniczkowalność f w pewnym momencie A.
Jeśli możemy pokazać, że całkowita różniczkowanie funkcji f w pewnym punkcie A wygląda następująco:
\ trójkąt f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangle x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
gdzie p\_ {k} to jakiś współczynnik numeryczny, \ omega jest funkcją, która ma właściwość \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0, a \ rho (X, A) jest odległością euklidesową między A i X, a następnie mówimy funkcję f można rozróżnić w punkcie A.
Teraz będziemy potrzebować jeszcze jednego twierdzenia:
Wyrażenie \ omega (X) \ rho (X, A) z powyższego może być zapisane jako:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Dowód:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
ponieważ | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), ponieważ | x\_ {k} -a\_ {k} | jest krawędzią d \ rho (X, A) to przekątna prostopadłościanu, którą możemy przyjąć jako \ epsilon\_ {k} (X).
Potrzebujemy teraz tylko jednego twierdzenia, aby dostać się do różniczki. To twierdzenie podaje nam potrzebne warunki, aby mieć różniczkę funkcji.
Jeśli funkcja f jest zróżnicowane w pewnym punkcie A, to w tym miejscu występują różniczki cząstkowe i prawdą jest, że:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ częściowy f} {\ częściowy x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Dowód:
Ponieważ powiedzieliśmy już, że f można różniczkować w punkcie A, możemy napisać:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Powiedzmy, że n-1 zmiennych jest tutaj stałych i pozwolimy tylko jednej zmianie po trochu. Na przykład: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, otrzymujemy:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. Po lewej stronie mamy różniczkę względem x\_ {1}. Jeśli podzielimy obie strony przez x\_ {1} -a\_ {1} = \ triangle x\_ {1} otrzymamy:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Teraz, jeśli x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} czyli \ trójkąt x\_ {1} \ mapsto 0, po lewej stronie mamy różnicę cząstkową względem x\_ {1}, a po prawej stronie p\_ {1}, ponieważ powiedzieliśmy, że \ omega (X) \ mapsto 0. Łatwo zauważyć, że ten sam wynik ma zastosowanie niezależnie od tego, którą zmienną ostatecznie zmienimy, dlatego udowodniliśmy to twierdzenie. Stąd mamy to
df = \ frac {\ Partial f} {\ Partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ Partial f} {\ Partial x\_ { n}} dx\_ {n}, którego użyliśmy do znalezienia rozwiązania.