Dlaczego [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math] jest prawdziwe?


Najlepsza odpowiedź

Definicja ślad jako suma przekątnych wpisów macierzy jest łatwy do nauczenia i łatwy do zrozumienia. Jednak nie ma on (a priori) żadnej ładnej interpretacji geometrycznej ani innej – wygląda po prostu na narzędzie obliczeniowe. Atakowanie go z tej perspektywy w zasadzie oznacza, że ​​utknąłeś z obliczeniowymi dowodami faktów, takimi jak tr (AB) = tr (BA).

Nie są „t złe , per se. Są łatwe do zrozumienia i na pewno to, co powinno się pokazać, gdy ktoś na początku uczy się algebry liniowej. Istnieje głębszy powód, dla którego tr (AB) = tr (BA), ale jest dość abstrakcyjny i w szczególności wymaga iloczynu tensorowego, aby go zrozumieć.

Rozważmy przestrzeń operatorów liniowych z wektorów przestrzeń V z powrotem do siebie. Jeśli wybierzemy konkretny zestaw współrzędnych, takie operatory będą wyglądać jak macierze kwadratowe. Powinniśmy jednak dążyć do jak największego unikania współrzędnych.

Oznaczamy przez V ^ * podwójną przestrzeń V, która jest przestrzenią funkcjonałów liniowych na V — czyli odwzorowania liniowe \ lambda takie, że jeśli wstawimy wektor v, \ lambda (v) jest skalarem.

Jeśli następnie weźmiemy iloczyn tensorowy V ^ * \ otimes V, jest on izomorficzny z przestrzenią operatorów liniowych V \ rightarrow V. Izomorfizm działa w ten sposób: jeśli w \ in V, to (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Możemy również dowiedzieć się, jak wygląda kompozycja pod tym izomorfizmem – – przypomnij sobie, że składanie map liniowych jest tym samym, co mnożenie odpowiednich macierzy.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

stąd

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

W jaki sposób przyszedł ślad? Cóż, istnieje naturalne odwzorowanie z V ^ * \ otimes V na pole skalarów, które działa tak: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Niesamowite jest to, że jeśli wszystko obliczysz we współrzędnych, to jest ślad.

To pokazuje, że ślad, który nie jest jakimś abstrakcyjnym narzędziem obliczeniowym, jest w rzeczywistości podstawową i naturalną mapą w algebrze liniowej . W szczególności powyższa analiza automatycznie daje dowód, że tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Ale dlaczego silniejsze stwierdzenie tr (AB) = tr ( BA) prawda? Cóż, obliczmy oba z nich.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Z drugiej strony:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , więc AB odpowiada parowaniu \ lambda\_1, \ lambda\_2 i v\_1, v\_2 w jeden sposób, a BA odpowiada parowaniu ich w inny sposób, ale gdy wykonamy ślad, zostaną one sparowane ponownie iw tym momencie nie ma już żadnej różnicy.

Pięknie.

Odpowiedź

Dowód \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) to proste obliczenie:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Nie jestem pewien, czy to odpowiada na część pytania „dlaczego”, w sensie „Tak, Widzę, że obliczenia działają, ale dlaczego ? „.

Często nie jest możliwe wyjaśnienie, „dlaczego” coś jest prawdą. W tym miejscu może warto zauważyć, że AB i BA w rzeczywistości mają coś więcej niż ślad: mają ten sam charakterystyczny wielomian .

Inną użyteczną obserwacją jest to, że jeśli A lub B nie są pojedyncze (odwracalne), to AB i BA są podobnymi macierzami, po prostu dlatego, że

AB = B ^ {- 1} (BA )B.

Podobne macierze mają wyraźnie te same wartości własne, więc w szczególności mają ten sam ślad. Możemy argumentować na podstawie ciągłości (na polach, w których ma to sens), aby dojść do wniosku, że to samo dotyczy nawet pojedynczego przypadku.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *