Najlepsza odpowiedź
Zanim odpowiem na pytanie, ustalam swoje założenia i konwencje. Przez liczbę mam na myśli liczbę rzeczywistą. Wykorzystamy właściwości pola liczb rzeczywistych, takie jak rozdzielność, identyczność addytywna itp. Zdefiniujmy kilka terminów:
- a jest ujemne, jeśli a .
- -a oznacza addytywną odwrotność a.
- ab oznacza a + (- b).
Niech a i b będą dwoma liczbami ujemnymi. To znaczy
a i b .
Następnie a \ implikuje a + (- a) + (- a) \ implikuje 0 <-a lub -a> 0.
Podobnie możemy pokazać, że -b> 0. Dlatego
(-a) (- b)> 0. (- a) \; \; \; \; … \; \; \; \; (1)
Ponadto
0 + 0 = 0 \ implikuje a. (0 + 0) = a.0 \ implikuje a.0 + a.0 = a.0 \ implikuje a.0 = 0
Podobnie, (-a) .0 = 0
Zatem a.0 = (- a) .0 = 0 \;… \; (2)
Od (1) i (2),
(-a). (- b)> 0 \; \; \; \; … \; \; \; (3)
Mamy
(-a). (- b) + (- a). b = (- a). (- b + b)
= (- a) .0 = 0 z (1) i (2)
\ implikuje (-a). (- b) = – (- a) .b \; \; \; \;… \; \; \; \; (4)
Dalej,
(-a) .b + ab = (- a + a) .b = 0. b = 0 \ implikuje ab = – (- a). b \; \; \; \;… \; \; \; \; (5)
Z (3), (4) i (5) mamy
ab = (- a) (- b)> 0.
Co wymagało udowodnienia.
Odpowiedź
Dlaczego po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych otrzymujesz liczbę dodatnią? Wiem, że to prawda, ale dlaczego? Czy ktoś może to udowodnić?
To naprawdę jest definicja. Kiedy wynaleziono liczby ujemne, trzeba było zdefiniować dodawanie i mnożenie.
Jedna motywacja opiera się na zastosowaniach i okazuje się, że zwykłe definicje są właśnie tym, czego potrzebujesz. Na przykład pociąg ekspresowy jedzie na północ przez stację z prędkością 100 mil na godzinę. Możesz obliczyć, jak daleko na północ od stacji będzie za 5 minut (dodatnie razy dodatnie) lub gdzie było 5 minut temu (ujemne razy dodatnie). Inny pociąg jedzie na południe z prędkością 100 mil na godzinę. Traktowanie odległości na południe od stacji jako ujemnych znaków dla prędkości i odległości jest odwrotnością tych dla drugiego pociągu. Powinieneś być w stanie zobaczyć, jak działają reguły dotyczące znaków.
Inną motywacją jest prostota (co częściowo wyjaśnia, dlaczego definicje są przydatne w zastosowaniach). Jest to najprostsze, jeśli prawa działające dla liczb dodatnich nadal działają dla liczb ujemnych.
Jedno prawo jest prawem podziału a (b + c) = ab + ac.
Jeśli c = -b daje to 0 = a (bb) = a (b + -b) = ab + a (-b).
Zatem niezależnie od wartości a, – (ab) musi być równe a (-b).
Jeśli a i b są dodatnie, daje to regułę, że minus pomnożone przez dodatni jest ujemny.
Zostawię ćwiczenie, aby zobaczyć, co dzieje się, gdy a jest ujemne w powyższym. Będziesz także potrzebował prawa przemienności ab = ba i zastosuj je do przypadków z a lub b ujemnym.