Najlepsza odpowiedź
Z powodu samych definicji \ sin x, \ cos x i \ tan x.
W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym x zdefiniowaliśmy współczynniki wyzwalania w następujący sposób:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {naprzeciwko}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {przeciwieństwo }} {\ text {adjacent}}
Stąd otrzymamy akronim SOH-CAH-TOA
W każdym razie, jeśli weźmiemy wyrażenie na \ tan x i podzielimy licznik i mianownik przez \ text {hypotenuse} otrzymujemy:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {naprzeciw} / \ text {hypotenuse}} {\ text {adjacent} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Odpowiedź
Zacznijmy od zdjęcia (źródło: Right Triangle – from Wolfram MathWorld )
Skoncentrujemy się na lewym, ale prawe dwa są bardzo ważne w trygonometrii.
Użyję con Uwzględniając, że kąt po przeciwnej stronie a to \ alpha, a kąt po przeciwnej stronie b to \ beta.
Przypomnijmy: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Teraz podzielmy sinus przez cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Możemy zrobić to samo z \ beta. Ogólnie rzecz biorąc, możemy zrobić tę samą sztuczkę z dowolnym trójkątem prostokątnym, więc musi to być nieodłączną własnością funkcji trygonometrycznych. Wiemy, czym są sinus i cosinus dzięki temu, jak je zdefiniowaliśmy jako te konkretne współczynniki.