Najlepsza odpowiedź
Z definicji pełny obrót obejmuje 360 stopni; tak więc 45 stopni to połowa połowy pełnego obrotu, czyli 1/8 pełnego obrotu.
Weź kwadrat i narysuj linie od środka do rogów i do środkowe z każdej strony. To stawia osiem równych kątów wokół środka; tak więc wszystkie te kąty mają wartość 45 stopni.
Możemy również zobaczyć, że dla każdego z nich otrzymujemy trójkąty prostokątne, gdzie w każdym przypadku obie nogi tych trójkątów prostokątnych są równe (o połowę mniejsze od boku Plac). Zatem styczna (w sensie przeciwnej nogi / sąsiedniej nogi) pod kątem 45 stopni wynosi 1.
Odpowiedź
„ Co to jest tan (45)? ”
Jeśli x jest niezerową liczbą wymierną, a następnie tan x jest irracjonalne (co udowodnił Lambert, 1761). Nie wiem, czy jakikolwiek dowód został opracowany niż tan x musi być transcendentalny, chociaż istniał taki dowód na sinus i cosinus.)
Teraz 45 jest niezerową liczbą wymierną, więc tan 45 musi być irracjonalne.
Najprostszą formą dokładnego wyrażenia tej wartości jest tg 45. Nie możesz tego wyrazić prościej i mieć wyrażenie reprezentujące dokładnie tan 45.
Jeśli interesuje Cię numeryczne przybliżenie , aby uzyskać dobre wyczucie wielkości i znaku liczby, możemy have: tan 45 = 1,619 775 190 543 861 549 982 796 517….
Dla tych, którzy błędnie twierdzą w swoich odpowiedziach niż tan 45 = 1, naruszyłeś twierdzenie, o którym wspomniałem na początku. Naruszyłeś twierdzenie, składając takie stwierdzenie, a ponieważ twierdzenia wymagają dowodu ich poprawności, każde naruszenie twierdzenia oznacza, że coś zostało zrobione nieprawidłowo. W tym przypadku błąd polega na założeniu, że tan 45 oznacza tan 45 °, jeśli chcesz, aby tangens (sinus, cosinus, cotangens, secans lub cosecans) kąta stanowiącego określoną liczbę stopni i chcesz wykorzystać tej liczby, to obowiązkowe jest użycie symbolu ° lub pomnożenie tej liczby przez π / 180. Argument funkcji stycznej nie musi mieć nic wspólnego z kątami – może to być dowolna liczba rzeczywista (z wyjątkiem przypadków, gdy osobliwości są generowane w ten sposób jak π / 2) o dowolnym znaczeniu. Otóż, kąty w rzeczywistości odpowiadają liczbom rzeczywistym – nie jest to prawdą w przypadku długości, czasów trwania itp., ale kąty mają tę specjalną cechę. Kąty są w rzeczywistości wielkościami bezwymiarowymi, co oznacza, że mogą być wyrażone jako proste liczby. Teraz istnieją różne nazwy jednostek dla kątów, ponieważ często wygodnie jest łatwo odwoływać się do różnych rozmiarów kątów. Każda nazwa jednostki kątowej (półkole, radian, stopień, minuta łukowa, sekunda łukowa itp.) odpowiada numerycznej wartość. Okazuje się, że jeśli masz okrąg o promieniu 3 mi łuk tego okręgu o długości 6 m, podany kąt wynosi (6 m) / (3 m) = 2 (zauważając, że metry w liczniku i mianowniku znoszą się nawzajem, dając tylko liczbę ), ale 2 czego. Definicja radianu to taki kąt, że długość łuku i promień okręgu są równe, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Zatem rad = 1/1 = 1. Ponieważ rad = 1, my może napisać 2 rad = 2 × 1 = 2, więc jawne zapisanie rad w wyrażeniu wartości kąta jest opcjonalne. Czasami bardzo pomocne jest uniknięcie dwuznaczności (takich jak rozróżnienie częstotliwości kątowej 1 rad / s od częstotliwości cyklicznej 1 [cykl] / s = 1 Hz) i będziemy nalegać na włączenie rad dla wyraźnej komunikacji, mimo że jest nominalnie opcjonalny; w innych przypadkach nie ma dwuznaczności i można całkowicie pominąć rad.
Teraz 180 ° = π rad, dwa różne wyrażenia odnoszące się do kąta łuku półkolistego. Jeśli podzielimy przez boki równania przez 180, zobaczymy: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, ponieważ rad = 1. Innymi słowy, stopień jest równy liczba, ale jej wartość nie wynosi 1; dlatego nie możemy poprawnie pisać 45 ° = 45 i po prostu beztrosko upuścić symbol °. Ponieważ ° oznacza liczbę π / 180, to znaczy 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, co oznacza, że gdy zastosujesz znaczenie °, otrzymasz inną liczbę – liczbę, która odpowiada liczbie radianów, więc niejawnie konwertujesz stopnie na radiany. Jeśli napiszesz tylko 45, to równa się 45 × 1 = 45 rad, a nie może oznaczać 45 °. Jeśli nie rozumiesz kątów i ich wartości liczbowych w ten sposób, nie bylibyśmy w stanie wykonać takich rzeczy, jak pochodna sin x w odniesieniu do x to cos x ; wyrażenie musiałoby być raczej niechlujne – niechciane niechlujne. Zbyt wiele sprzeczności i innych dziwnych rzeczy ma miejsce, jeśli spróbujesz zachowywać się tak, jakby stopień jednostki kąta miał wartość liczbową 1, dzięki czemu można go dowolnie uwzględnić lub uniknąć.
Niestety, wszystkie powszechnie używane podręczniki geometrii w szkołach średnich zachowują się leniwie i uczą uczniów, aby byli nieodpowiednio leniwi – nie zawracając sobie głowy pisaniem jednostek miary, gdy mają stopnie naukowe. Ten błąd jest zwykle korygowany w bardziej zaawansowanych podręcznikach do algebry lub trygonometrii, gdzie ° jest zawsze zapisywane, gdy zamierzone są stopnie, a gdy jednostki są pomijane, to zawsze zamierzone są radiany, co odpowiada standardowej praktyce profesjonalnych matematyków i fizyków. Nie wiem, dlaczego podręczniki geometrii upierają się przy wybieraniu niedopuszczalnego skrótu wbrew standardowej praktyce zawodowej, ponieważ nauczyciele i uczniowie denerwują się na późniejszych kursach, kiedy muszą odpowiednio nauczać i dowiadywać się, że symbol ° jest konieczny.