Dlaczego suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest zawsze wielokrotnością 3? Jak to udowodnić, używając wyrażeń algebraicznych?


Najlepsza odpowiedź

3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)

3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)

3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)

Zasadniczo otrzymujesz 3 liczby, które są dokładnie:

1 z 0mod3, 1 z 1mod3 i 1 z 2mod3

( ale w przypadkowej kolejności)

A 3 dzieli resztę wygenerowaną tutaj

jeśli masz n kolejnych liczb całkowitych, to masz wszystkie pozostałe przypadki dla n (od 0 do n-1) przypisane DOKŁADNIE raz (a więc jednoznacznie wśród każdej kolejnej liczby całkowitej) i ta własność jest uniwersalna dla wszystkich liczb naturalnych n,

ale zdarza się, że 3 dzieli 0 + 1 + 2, co jest sumą pozostałych przypadków. Widzisz, że 4 nie dzieli 0 + 1 + 2 + 3 = 6, ale 5 dzieli 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10, ale 6 nie dzieli 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15… Więc ta część oczywiście nie jest uniwersalna dla wszystkich n.

Ta sztuczka po prostu działa dla 3 (jak 5), ponieważ x | Σr z r od 1 do x-1 dla x = 3 (również x = 5), przejdź do początku tej odpowiedzi, aby zobaczyć, dlaczego liczą się tylko reszty, a nie ile razy liczby są podzielne przez 3 😃!

Ale najkrótszy dowód, który nie dba o to, „dlaczego osiągniemy to tyle, że osiągniemy to ”będzie wyglądać następująco:

x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)

Odpowiedź

Dlaczego suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest zawsze wielokrotnością 3? Jak to udowodnić, używając wyrażeń algebraicznych?

Niech liczby całkowite będą k \ text {,} \ text {} k + 1 \ space \ text {and} \ text {} k + 2, gdzie k również jest liczbą całkowitą.

Dodaj je: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}

\ dlatego \ text {} ta suma jest wielokrotnością 3 \ text {.}

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *