Najlepsza odpowiedź
Jeśli spróbuję podłączyć to do mojego kalkulatora, otrzymam coś w notacji naukowej, ponieważ odpowiedź jest zbyt duża, aby kalkulator mógł ją wyświetlić. W praktyce kalkulator pokaże mi początek liczby, a ja przejmuję się tylko końcem liczby.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Wiem, że liczba ma na końcu zero, jeśli współczynnik ma 10. Na przykład 10 to współczynnik 50, 120 i 1234567890. Muszę więc dowiedzieć się, jak iloczyn 10 jest czynnikiem wzrostu 200 !.
Ale ponieważ 5 × 2 = 10, muszę uwzględnić wszystkie iloczyny 5 i 2. Patrząc na czynniki w powyższym rozwinięciu, jest o wiele więcej liczb będących wielokrotnościami
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
niż wielokrotności
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
To znaczy, jeśli wezmę wszystkich liczb z 5 jako czynnikiem, będę miał dużo więcej niż wystarczająco liczb parzystych, aby połączyć je w pary, aby uzyskać współczynniki 10 (i kolejne końcowe zero na mojej silni). Aby znaleźć liczbę razy 10 jest czynnikiem, jedyne, o co naprawdę muszę się martwić, to ile razy 5 jest składnikiem wszystkich liczb od 1 do 200.
OK, ile wielokrotności 5 Czy są liczby od 1 do 200? Jest 5, 10, 15, 20, 25, …
O cholera; zróbmy to w skrócie: 200 ÷ 5 = 40 , więc istnieje czterdzieści wielokrotności 5 między 1 a 200.
Czy więc odpowiedź będzie 40 .
Ale poczekaj: 25 to 5 × 5, więc każda wielokrotność 25 ma dodatkowy czynnik z 5 , które muszę uwzględnić. Ile wielokrotności 25 należy do przedziału od 1 do 200?
Ponieważ 200 ÷ 25 = 8 , istnieje osiem wielokrotności 25 między 1 a 200.
I poczekaj minutę, jest również 125, czyli 5x5x5. Więc musimy dodać 1 do liczby zer.
Więc teraz całkowita liczba zer to = 40 + 8 + 1, czyli 49.
A więc 200! na końcu znajduje się 49 zer. I nie sprawdzaj tego za pomocą kalkulatora, ponieważ kalkulator nie może tego zrobić.
Odpowiedź
Końcowe zera to ciąg 0 cali w dziesiętnej reprezentacji liczby, po za którym nie następują żadne inne cyfry. Można to rozwiązać na dwa sposoby –
- Spójrzmy, jak powstają zera końcowe. Końcowe zero jest tworzone, gdy mnożona jest wielokrotność 5 przez wielokrotność 2. Teraz wszystko, co musimy zrobić, to policzyć liczbę 5 i 2 w mnożeniu.
Każda para 2 i 5 spowoduje końcowe zero. Ponieważ mamy tylko 24 5, możemy stworzyć tylko 24 pary 2 i 5, więc liczba końcowych zer w 100 silni wynosi 24 .
2. Na pytanie można również odpowiedzieć za pomocą prostego wzoru podanego poniżej:
Powyższy wzór daje nam dokładną liczbę 5 w n!, ponieważ zajmie się wszystkimi wielokrotnościami 5 w hich są mniejsze niż n. Nie tylko to, że zajmie się wszystkimi wielokrotnościami 25, 125 itd. (Wyższe potęgi 5).
Wskazówka: Zamiast dzielić przez 25, 125 itd. (wyższe potęgi 5); byłoby znacznie szybciej, gdybyśmy podzielili rekurencyjnie przez 5.
Użyjmy tego do rozwiązania kilku przykładów:
Q) Jaka jest liczba końcowych zer w 100! ?
[100/5] = 20
Teraz możemy podzielić 100 na 25 lub wynik z powyższego kroku, czyli 20 na 5.
[ 20/5] = 4. Jest mniej niż 5, więc zatrzymujemy się tutaj.
Odpowiedź brzmi – 20+ 4 = 24 (bezpośrednia odpowiedź w zaledwie kilka sekund)
Q) Jaka jest liczba końcowych zer w 200! ?
[200/5] = 40
Teraz możemy podzielić 200 na 25 lub wynik z powyższego kroku, czyli 40 na 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Jest mniej niż 5, więc zatrzymujemy się tutaj.
Odpowiedź to – 40 + 8 + 1 = 49
P) Jaka jest liczba końcowych zer w 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Jest mniej niż 5, więc zatrzymujemy się tutaj.
Odpowiedź to – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w sekcji komentarzy.