Najlepsza odpowiedź
Policzmy wystąpienie cyfry 2 jako pierwsze w 1 do 10. Jest tylko 1, a mianowicie dla liczby 2.
Następnie weź następne dziesięć liczb i policz występowanie w nich cyfry 2, a otrzymamy 2, a mianowicie w liczbach 12 i 20.
W ten sam sposób występuje 10 razy w liczbach od 21 do 30, tak jak występuje dwa razy na 22.
Kontynuując w ten sam sposób dla kolejnych liczb do 120 włącznie, dowiedz się, że istnieje raz na dziesięć liczb plus jeszcze jeden raz, w sumie 10.
Między 121 a 130 pojawia się ponownie 10 razy, tak jak dwukrotnie na 122.
Od 131 do 190 cyfra 2 występuje raz na każde 10 liczb, w sumie 6.
A w ostatnich dziesięciu liczbach (191–200) występuje dwukrotnie.
Dodanie wszystkich wystąpień do siebie stwierdzamy, że cyfra 2 występuje 41 razy, a mianowicie w liczbach 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 i 200.
Odpowiedź
Pokażę Ci dwie zasady, może być ich wiele.
Między nimi pierwsza jest łatwa, a druga jest bardziej matematyczna i naukowa:
Proces 1:
Jeśli zrobimy n ^ 5, ostatnia cyfra wyniku jest zawsze taka sama jak ostatnia cyfra n.
Teraz, jeśli dodamy (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Ostatnia cyfra będzie ostatnią cyfrą dodawania (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Teraz,
Ostatnia cyfra dodawania (1 + 2 + 3 +… .. + 99)
= Ostatnia cyfra \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Ostatnia cyfra \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Zatem ostatnią cyfrą dodania
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) będzie Zero.
Proces 2:
Wiemy, że
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Zatem dla (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Odpowiedź będzie wyglądać następująco:
161708332500
Zatem ostatnia cyfra to zero .
PS: Wiemy, że 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a jest napisane matematycznie jako \ Sigma n ^ a. Ogólny wzór na sumę potęgi jest znany jako wzór Faulhabera (znany również jako wzór Bernoulliego):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ underline {k-1} n ^ {p-k + 1}
gdzie, \ textbf {p} ^ \ underline {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} nazywamy silnią spadającą, a B\_ {k} to liczby Bernoulliego.
Korzystając z tego wzoru możemy wydedukować dowolną formułę na potęgę suma, jak podano poniżej:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Dziękuję za przeczytanie mojej odpowiedzi. Mam nadzieję, że to pomoże.