Najlepsza odpowiedź
* A2A
Sine to funkcja trygonometryczna, która jest równa stosunkowi strony przeciwnej do danego kąta (w trójkącie prostokątnym) do przeciwprostokątnej.
Uwaga: wszystkie funkcje trygonometryczne są prawdziwe tylko dla trójkąty prostokątne ..
Ale wartość sinusa zależy od kąta .. Więc dla kąta a wartość sinusa jest zawsze taka sama .. Nie ma znaczenia, jak duże jest odwrotnie
Zakres wartości sinusa to [-1,1]…
Bez względu na to, kąt mógłby być … Ponieważ otrzymujemy wartość sinusa dla kątów o dowolnej wartości … Możemy teraz powiedzieć, że:
f (x) = sinx .. Tutaj x może być dowolnym kątem od minus nieskończoności do plus nieskończoność..Ale wartość znaku zawsze będzie w przedziale [-1,1] ..
Jednak ta funkcja nie różni się od zwykłej funkcji cje, które znamy: f (x) = x ^ 2–3x + 6
Oto kilka artykułów w celach informacyjnych. Znajdziesz tutaj lepszą i lepiej opisaną definicję funkcji sinus i innych funkcji trygonometrycznych.
https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
Odpowiedź
Istnieje wiele sposobów zdefiniowania funkcji sinus jako funkcji, w zależności od tego, jakie reguły zezwalasz na definicję.
Jednym ze sposobów jest stwierdzenie, że \ sin x = -i \ Im e ^ {ix}. Niektórzy twierdzą, że to przenosi problem z „jak definiujesz sinus” na „jak definiujesz złożoną integrację”, ale to drobnostka.
Podobnie można powiedzieć, że sinus to wyjątkowa rzeczywista funkcja f (x), która spełnia równanie różniczkowe f „” = -f z warunkami początkowymi, które f (0) = 1, f „(0) = 0. Jest to definicja niejawna, a nie jawna. ważna definicja.
Jednak definicja ta może być użyta do wygenerowania rozwinięcia Taylora w celu uzyskania
\ begin {align} \ sin x & = f (0) + xf „(0) + \ frac {x ^ 2} {2} f” „(0) + \ cdots \\ & = \ sum\_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ i} {i!} \ frac {d ^ if} {dx ^ i} \\ & \ approx x – \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 5} {120} – \ frac {x ^ 7} {5040} \ end {align}
Ostatnim wyrażeniem jest przybliżenie wielomianu siódmego rzędu dla funkcji sinus, które jest dokładne do około 7 miejsc po przecinku dla 0 \ leq x \ leq \ pi / 4.
Istnieją pewne subtelności, takie jak udowodnienie, że szereg Taylora zbiega się dla wszystkich x, ale w zasadzie tak aby to zrobić.
Możesz wymyślić coś w oparciu o długość łuku koła: \ theta = \ int\_0 ^ {\ sin \ theta} \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2}, x ^ 2 + y ^ 2 = 1, xdx = -ydy, ale nie jestem teraz skłonny do rozwiązywania tego problemu dla \ sin \ theta.