Najlepsza odpowiedź
Rozumiem, że chcesz tutaj uzyskać odpowiedź. Tradycyjnie fałd jest wartością rzeczy; ergo, jednokrotny wzrost to 100\%. Jednak powoduje to zamieszanie, ponieważ większość ludzi uważa, że dwukrotność odsetek jest podwójna (200\%) wartości rzeczy – popularnej definicji. Nawet słownik Matematyki Collinsa definiuje „-krotne” jako „razy”, tak jak „dwukrotność” równa się „dwa razy”, co równa się podwójnemu. Niektórzy naukowcy używają słowa „krotnie” jako synonimu terminu matematycznego „ razy, „jak w przypadku„ trzykrotnie większy ”oznacza„ trzykrotnie większy ”. Jednak inni upierają się przy tradycyjnym używaniu słowa „fałd” do opisania całkowitej wartości rzeczy; w ten sposób „60 jest jednokrotnie większe niż 30”.
Jestem pewien, że to nie ułatwi Ci podjęcia decyzji – popularna wersja zamiast bardziej tradycyjnego użycia – ale aby uniknąć błędnej interpretacji, w codziennym użytkowaniu możesz trzymać się popularnej definicji.
Odpowiedz
Ciekawe pytanie. Podzielmy je.
- Dlaczego obliczane są wyznaczniki ?
Szczerze mówiąc, nie ma na świecie ani jednego powodu, dla którego powinieneś obliczyć wyznacznik, z wyjątkiem sytuacji, gdy jest to wymagane w teście algebry liniowej. Determinanty są używane w dowodzie istnienia rozwiązania do zestawu równań liniowych w postaci Ax = b, w których determinanty odgrywają główną rolę. Reguła Cramera – Wikipedia
To doprowadziło wielu zagubionych duszy do wniosku, że ta reguła jest dobrym sposobem na obliczenie wspomnianego rozwiązania. Tak nie jest. Pozwól, że wyjaśnię, dlaczego.
2. Dlaczego wyznaczniki są obliczane w taki sposób, w jaki są obliczane
Pierwszą rzeczą, której nauczysz się w algebrze liniowej 101, jest rozwinięcie wyznacznika wzdłuż wiersza lub kolumny, co można sformułować rekurencyjnie jako
\ Displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
w którym A\_ {kj } to podmacierz, którą otrzymujesz odrzucając k-ty wiersz i j-tą kolumnę A. To jest w porządku, jeśli twoja macierz ma 3 \ times3 lub 4 \ times 4, staje się żmudna, gdy n = 5 i nie można jej cofnąć dla dowolnego większego n . Ale mamy komputery, prawda? W porządku. Zróbmy to naukowo i policzmy operację. Niech T\_n będzie liczbą operacji obliczania wyznacznika n \ razy n w ten sposób. W kontekście algebry liniowej „operacja” to mnożenie, po którym następuje dodawanie. Zatem wyraźnie
T\_n = nT\_ {n-1}
Hej! Czy to nie dzwoni? Tak, to jest funkcja wydziału i T\_n = n !. Gdybyśmy mieli komputer, który może wykonać 10 ^ {20} operacji na sekundę, co mogłoby się po prostu zdarzyć, gdyby komputery kwantowe zaczęły działać i musielibyśmy obliczyć wyznacznik 100×100 przez rozszerzenie wierszy lub kolumn, potrzebowalibyśmy
100! = 9.3326E157
operacji. A 100 \ times100 nie jest przesadą, aplikacje przemysłowe często sięgają milionów. Teraz rok ma 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 sekund, więc możemy wykonać nie więcej niż 3,2E27 operacji rocznie, co jest zaledwie kroplą do oceanu 9,3E157. Dokładniej, potrzebowalibyśmy roku 3E130, a biorąc pod uwagę fakt, że szacowany wiek Wszechświata to 13,8E9 (6E3, jeśli jesteś kreacjonistą), brakuje nam kilku lat.
Wniosek: to nie jest dobry sposób na obliczenie wyznacznika.
Aby obliczyć rozwiązanie według reguły Cramera, należałoby obliczyć 101 wyznaczników. Reguła Cramera w ogóle nie działa! Ma wartość teoretyczną, a nie praktyczną.
Dlatego do obliczenia należy użyć dekompozycji LU ( dekompozycja LU – Wikipedia ) jest wyznacznikiem i jako dodatkowa korzyść daje również rozwiązanie dla twojego systemu Ax = b. Liczba operacji dla LU to \ frac13n ^ 3. Aby uzyskać z tego wyznacznik, mnożymy wszystkie przekątne elementy U. (\ cal O (n)). Aby uzyskać rozwiązanie twojego systemu, Ax = b wymaga kolejnych n ^ 2 operacji. A więc wszystko to wymagałoby operacji 3.34E5 i bylibyśmy gotowi w ciągu 10 ^ {- 14} sekund.
Sheldon Axler napisał tekst z algebry liniowej, który nie używa żadnych wyznaczników https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
i jestem pewien, że Alon Amit („macierze do niczego, reguła operatorów”) by się zgodził.