Najlepsza odpowiedź
Ponieważ elipsa jest kwadratowym okręgiem, możemy rozważyć równoważny okrąg. To byłoby tylko przybliżenie, a nie dokładna wartość obwodu elipsy.
Wiemy, że równanie elipsy to:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Kiedy a = b = r staje się to równaniem koła. Mogłem więc zapisać równanie równoważnego promienia okręgu w kategoriach „a” i „b”.
Zamiast tego, biorąc średnią z „a” i „b”, otrzymalibyśmy lepsze przybliżenie przez biorąc średni kwadrat z „a” i „b”.
tj.
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Stąd przybliżony obwód elipsy wyglądałby następująco:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Istnieją znacznie lepsze przybliżenia, ale myślę, że to wystarczy.
Mam nadzieję, że to pomogło.
Odpowiedz
Spróbujmy znaleźć obwód elipsy.
Elipsa z półoś wielka a i półoś mniejsza b ma równanie:
\ Displaystyle \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ Frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Wykres (będziemy musieli poradzić sobie z malowaniem, moje oprogramowanie matematyczne wymaga odnowienia licencji):
Aby znaleźć obwód, musimy wyrazić część tego obwodu \ text {d} s jako funkcję \ text {d} x, \ text {d} y i miejmy nadzieję, że dojdziemy przy jakimś użytecznym wyrażeniu.
Jeśli przyjmiemy, że możemy przybliżyć \ text {d} s linią prostą, możemy zastosować Pythagorasa:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ tekst {d} x) ^ 2 + (\ tekst {d} y) ^ 2 \ tag * {}
lub
\ Displaystyle \ tekst {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Zakładam, że zawsze bierzemy \ text {d} x> 0 lub przechodzimy od lewej do tuż wzdłuż głównej osi.
Pozostało tylko reklama d te małe wkłady długości łuku. Możemy rozważyć x \ w [0, a] i pomnożyć przez 4, ponieważ nasza elipsa jest symetryczna w osi x, y.
Znaleźliśmy:
\ Displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Jeśli znajdziemy (miły) sposób wyrażenia:
\ Displaystyle \ Frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
jesteśmy w biznesie.
Jednak mamy już wyrażenie (1), które odnosi y do x. Czas na obliczenia (3), użyję niejawnego różnicowania:
\ Displaystyle \ Frac {2x} {a ^ 2} \ tekst {d} x + \ Frac {2y} {b ^ 2} \ tekst {d} y = 0 \ tag * {}
lub
\ Displaystyle \ Frac {\ tekst {d} y} {\ tekst {d} x} = – \ Frac {x} {y} \ Frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
lub
\ Displaystyle \ lewo (\ Frac {\ tekst {d} y} {\ tekst {d} x} \ prawo) ^ 2 = \ Frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Musimy być w stanie napisać to używając tylko x. Użyjemy ponownie (1):
\ Displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Podstawienie (5) do (4):
\ Displaystyle \ lewo (\ Frac {\ tekst {d} y} {\ tekst {d} x} \ prawo) ^ 2 = \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Podstaw do (2):
\ Displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ Frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ tekst {d} x \ tag {6}
Istnieje kilka opcji przepisania tej całki. Jedną z opcji byłoby ustawienie x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z, a jeden z nich to:
\ Displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ Frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ tekst {d} z \ tag {7}
Inną metodą byłoby użycie parametryzacji elipsy w następującej postaci:
\ begin {tablica} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {tablica} \ tag * {}
A to prowadzi do całki eliptycznej drugiego rodzaju, która jest mniej więcej standardowym podejściem:
\ Displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ tekst {d} \ theta \ tag {8}
z
\ Displaystyle e = \ sqrt {1- \ Frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
ekscentryczność elipsy.
Porównując wyrażenia (6,7) i (8), widzimy, że można by bardziej preferować (8) niż (6, 7). Ostatnie wyrażenie jest nie tylko prostsze w swoim parametrze e, ale zachowuje się ładnie. W wyrażeniu (6,7) nadal mamy problem, gdy x \ do a, z \ do 1.
Jednak nie ma wyrażenia w postaci zamkniętej dla wyniku. Dla okręgu mamy e = 0, a (8) ładnie redukuje się do 2 \ pi a, tak jak powinno. To samo dotyczy (6,7).