Najlepsza odpowiedź
Pierwotnie odpowiedź: Jakie jest dobre oszacowanie pierwiastka sześciennego z 4?
n-ty pierwiastek z N jest pierwiastkiem z x ^ nN = 0. Pochodna x ^ nN to nx ^ {n-1}, więc biorąc pod uwagę początkowe oszacowanie x pierwiastka, dokładniejsze oszacowanie metodą Newtona to
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
co jest średnią z ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 z nich}} \ text {i} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Ta średnia ważona ma sens, gdy zdasz sobie sprawę, że zarówno x, jak i \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} są szacunkami n-tego pierwiastka z N, że są „wyłączone” w przeciwnych kierunkach i że x jest n-1 razy lepszym oszacowaniem niż \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Zastosujmy teraz metodę…
Niech N = 4. Niech x będzie twoim oszacowaniem pierwiastka sześciennego z 4. Zacznij od trafnego przypuszczenia, na przykład x = 2. Następnie oblicz
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~, aby uzyskać lepsze oszacowanie.
W tym przypadku
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ około 1.66666667…
Następnie powtórz używając x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ około 1,5911111 …
To przybliżenie jest dobre do około 3 cyfr znaczących, więc zróbmy to jeszcze raz,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ około 1.58740969614163 …
To jest dobre dla około 6 cyfr znaczących. Z każdą iteracją liczba poprawnych cyfr w przybliżeniu się podwaja.
Odpowiedź
W zależności od tego, ile wiesz z matematyki, istnieją 2 możliwe sposoby:
- Użyj logarytmów
- Użyj metod iteracyjnych (metoda Bisection, metoda Newtona-Raphsona itp.)
Logarytmy- Weź x = 2 ^ {1/3}
Więc log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0,30102999 = 0,100343 (w przybliżeniu)
w związku z tym x = antilog (0,100343) = 1,2599 (w przybliżeniu)
Metody iteracyjne- Pokażę metodą bisekcji, możesz spróbować innych, jeśli chcesz. (Proces jest prawie taki sam.)
Niech x = 2 ^ {1/3}
Więc, x ^ 3 – 2 = 0
Niech f (x) = x ^ 3 – 2
Wybieramy dwie wartości, z których jedna daje f (x) <0, a druga f (x)> 0
Widzimy, że f (x) <0 dla x = 1 if (x)> 0 dla x = 2. Więc, x1 = 1, x2 = 2
Teraz bierzemy średnią z tych wartości jako nowe x
A więc nowe x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1.5) = 1.375> 0
Widzimy, że zarówno 1.5, jak i 2 dają wartości> 0, więc odrzucamy 2, ponieważ daje to wartość f (x) bardziej oddaloną od 0. Trzymamy tylko wartości x, które dają wartość f (x) bliżej 0
Więc bierzemy x1 = 1 i x2 = 1,5
ponownie znajdujemy nowe x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Teraz mamy odrzuć 1 jako 1,25 daj wartość f (x) bliższą 0
więc bierzemy x1 = 1,25 i x2 = 1,5
Znów znajdujemy nowy x jako średnią z tych 2 wartości, podstaw w f (x), aby zobaczyć jego znak, iw zależności od tego, bierzemy nasze nowe wartości x1 i x2.
Powtarzaj ten proces, aż będziesz zadowolony z odpowiedzi (końcowe x).
P.S. Te procesy nigdy nie dadzą dokładnej odpowiedzi, musisz zatrzymać się na jakiejś przybliżonej.