Najlepsza odpowiedź
Użyłbym tożsamości \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x lub
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Więc \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Teraz użyj tożsamości \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1 lub
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Zatem otrzymujemy
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Odpowiedź
To ćwiczenie wskazuje, jak używać formuł pół kąta do tworzenia nowych wyrażeń niższego stopnia. Trudno to zobaczyć bez kontekstu, więc zauważ, że te problemy zawsze można rozwiązać za pomocą formuł półkątnych.
W ten sposób możemy rozbić oryginalne wyrażenie na iloczyn dwóch (sin x) ^ 2 wyrażeń i przystąpić do użycia drugiej formuły na rysunku, który załączyłem.
Pomnóż i rozwiń, aby otrzymać
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
O nie! Wygląda na to, że jeszcze nie skończyliśmy! Cóż, nie martw się, spójrz na pierwszą formułę na moim załączonym obrazku i zastąp kwadratowy termin wyrażeniem. Zauważ, że zaczynamy od 2x i musimy go podwoić do 4x zamiast dokładnie tego, co jest zapisane we wzorze. Zatem zastąp i uzyskaj:
1/4 (1-2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Następnie weź wspólny mianownik i usuń go za pomocą 1 / 4, uzyskując 1/8 na zewnątrz.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Połącz podobne wyrażenia, aby uzyskać ostateczną odpowiedź
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Świetne pytanie!