Najlepsza odpowiedź
Zacznij od zauważenia, że sin 35 ° jest zbliżone do grzechu 30 ° = 1/2. Od razu wiemy, że to mniej więcej 1/2. To około 7\% rzeczywistej wartości.
Spróbujmy uzyskać lepsze oszacowanie. Według tożsamości dodawania kątów,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Ponieważ 5 ° = π / 36 to stosunkowo mały kąt, możemy użyć przybliżeń sin x ≈ x i cos x ≈ 1. Więc
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Teraz π ≈ 22/7 i (√3 / 2) ≈ 7/4 ponieważ 49/16 ≈ 3. Więc otrzymujemy
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Różni się od prawdziwej wartości o mniej 1\%.
Innym podejściem jest obliczenie jej przy użyciu pierwszych par wyrażeń w rozwinięciu szeregu Taylora sin x . To jest dokładne z dokładnością do 0,1\%, ale trudniej jest obliczyć ręcznie niż 83/144.
Odpowiedź
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Teraz Sin (3x), z ogólnego wzoru wynosi 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, stąd umieszczenie x = 10 stopni, co daje Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 i dlatego
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 lub manipulując tym równaniem i umieszczając Sin (10) = y, otrzymujemy
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Rozwiąż ten sześcienny za pomocą iteracyjnej metody numerycznej, takiej jak metoda Newtona-Raphsona, ręcznie, aby uzyskać po slogu:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Oczywiście możesz przejść do mniejszej liczby liczb w zależności od wymaganej precyzji.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0,9848077530122.
Umieść wartości Cos (10) i Sin (10) w (1) powyżej, aby uzyskać:
Sin (35) = 0,57357643639 zgodnie z żądaniem.