Jak rozumieć ∫udv = uv-∫vdu? Czy interpretuję to jako regułę iloczynu odwrotnego


Najlepsza odpowiedź

Zacznijmy od reguły iloczynu.

Przykład: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Jak się tam dostałem? Reguła iloczynu brzmi: Kiedy y = uv, uv to dwie różne funkcje pomnożone razem – w tym przypadku sinus i cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Zatem w powyższym przykładzie dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 lub (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Reguła iloczynu odwrotnego to po prostu przeciwnie, jak integracja jest odwrotnością / przeciwieństwem różniczkowania.

A więc z dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Całkujmy wszystko! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

Różniczkowanie y staje się dy / dx, więc całkowanie wraca do y. Stąd y = ∫u dv + ∫v du

Ponieważ wiemy, że y = uv (patrz wyżej) uv = ∫u dv + ∫v du

Następnie po prostu przestawiamy równanie jako takie:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

Nie rozumiem tego również w pełni, ale to najlepiej, jak potrafię, aby wyjaśnić, jak wyprowadzić.

Odpowiedź

Oto jeden sposób, aby o tym pomyśleć: ∫udv całkuje wzdłuż osi v. Oblicza pole powierzchni pod krzywą u w kierunku v.

∫vdu całkuje wzdłuż osi u. Oblicza pole powierzchni na lewo od krzywej v, w kierunku u.

Połącz te dwa elementy, a otrzymasz kwadrat: cały obszar między osiami u i v. Całkowita powierzchnia jest iloczynem dwóch: UV. Podsumowując, otrzymujesz:

∫v du + ∫u dv = uv

Stamtąd możesz łatwo wyprowadzić wzór. Łatwo to też sobie wyobrazić.

Źródło: Sigma MathNet

Jest to nadmierne uproszczenie pomysłu, które jest bardziej ogólne niż to, ale jest to powszechne wyjaśnienie (i czasami traktowane jako nieformalny dowód). Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Wyjaśnij mi ten dowód bez słów integracji częściami .

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *