Najlepsza odpowiedź
Jak rozwiązać tan theta = -2?
W tym celu zaczynamy od funkcji arctan , która jest odwrotnością funkcji tangent i wyszukuje wartość \ theta taką, że \ tan (\ theta) = -2.
Możemy obliczyć wartość, ale jest to zespolona „procedura obejmująca liczby„ urojone ”. Wygląda to na wiele kłopotów, więc korzystanie z zestawu tabel byłoby łatwiejsze, nawet jeśli być może nieco mniej dokładne. Chociaż mam stary zestaw na strychu moich rodziców, na razie nie ma to dla mnie sensu, więc poszukajmy w Internecie kilku stolików. Czekaj, jeśli mam dostęp do internetu, dlaczego nie sprawdzić, czy internet może wykonać obliczenia za mnie?
Cóż, te przybliżenia są prawdopodobnie dokładniejsze niż potrzebujemy, ale na razie się ich trzymamy.
Być może nie podoba ci się idea kątów ujemnych? Nie martw się, łatwo jest przekonwertować je na kąty dodatnie, dodając 2π radianów / 360 °.
Zatem mamy 5,17603659 radianów / 296,5650512 °
Ale to jeszcze nie koniec !
Funkcja arctan „zwraca” tylko kąty z zakresu wyłączności (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), tj. (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Czy są więc inne kąty, których styczna ma wartość -2?
Najpierw styczna podaje wartość ujemną, gdy kąt znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce, a mianowicie, gdy kąty znajdują się w wyłącznych zakresach (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) i (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Mamy już rozwiązanie w czwartej ćwiartce, więc jakie jest rozwiązanie w drugiej ćwiartce? To jest wschód, po prostu weź π radianów / 180 ° z rozwiązania w czwartej ćwiartce.
Dlaczego? Cóż, ze wzoru kąta złożonego dla funkcji stycznej mamy:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ Frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (\ pi) = 0
To daje nam drugie rozwiązanie, 2.03444393 radianów / 116.5650512 °
Po drugie, funkcja tangent jest okresowa, z okres 2π radianów / 360 °; oznacza to, że dodanie dowolnej wielokrotności 2π radianów / 360 ° do naszego kąta zwróci tę samą wartość stycznej .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (2 \ pi) = 0
Zatem używając k do reprezentowania dowolnej liczby całkowitej, nasz pełny zestaw rozwiązań to:
(2.03444393 + k \ pi) \ radianów lub (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Odpowiedź
Przypomnij sobie, że sec (theta) = 1 / (cos (theta). Wtedy masz
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, co jest równaniem kwadratowym w cos (theta). Dwa pierwiastki tego równania to (3 + – sqrt (5)) / 2, które w rzeczywistości są 1 + – phi, gdzie phi jest słynnym „złotym podziałem” i są pierwiastkami kwadratu x ^ 2 – x – 1.
Ponieważ phi jest pierwiastkiem, podzielenie tego równania przez phi ^ 2 pokazuje, że drugi pierwiastek jest -1 / phi. A ponieważ phi + 1 = phi ^ 2, mamy, że pierwiastki twojego pierwotnego równania to phi ^ 2 i 1 / phi ^ 2. Ponieważ cosinus musi być 1, musimy użyć mniejszego pierwiastka .
Rozważmy teraz starożytny szereg Fibonacciego 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, w którym (n + 1) -ty człon jest sumą n-tego i (n-1)-tego wyrazu. Okazuje się, że phi i jego sprzężony korzeń są ściśle związane z tą serią. Sposób, w jaki to ma zastosowanie, jest następujący:
Jeśli n-ty wyraz Fibonacciego to F (n), to phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Dowodem jest indukcja na n, przy użyciu definicji Fibonacciego F (n + 1) = F (n) + F (n-1) w ostatnim kroku). Chcesz pokazać, że phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. Szóste i siódme F to 5 i 8. Więc obliczasz
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Jeśli pomnożymy to i zracjonalizujemy drugi człon, otrzymamy 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED