Najlepsza odpowiedź
Oto jak podszedłbym do przybliżonego rozwiązania:
Wartość x musi znajdować się w przedziale [-1,1] poza tym przedziałem x ^ 2> 1, który jest poza zakresem \ sin {x}. Można ją dalej ograniczyć do przedziału [0,1], tak jak wtedy, gdy -1 \ le x , \ sin {x} 0. W przedziale [0,1] istnieje trywialne rozwiązanie dla x = 0.
Dla x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } natomiast x ^ 2 \ sin {x}, musi istnieć co najmniej jedno rozwiązanie w przedziale (0,1]. Ponadto na tym przedziale \ sin {x} ma ujemną drugą pochodną, podczas gdy x ^ 2 ma dodatnią drugą pochodną, więc jest co najwyżej jedno rozwiązanie w przedziale (0,1]. Gdy krzywa x ^ 2 wyprzedzi krzywą \ sin {x}, nie może się ponownie przeciąć.
Więc jest dokładnie jedno rozwiązanie w (0,1]. Aby oszacować to rozwiązanie, użyj pierwszych dwóch wyrazów szeregu Taylora dla funkcji sinus, aby otrzymać x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. To redukuje się do x ^ 2 + 6x-6 = 0 lub x = \ sqrt {15} -3 jako przybliżone rozwiązanie. Do sześciu miejsc po przecinku, \ sqrt {15} -3 \ około 0,872983.
Dla porównania, przybliżenie numeryczne daje rozwiązanie do sześciu miejsc po przecinku jako x = 0,876726. Zatem nasze przybliżenie przy użyciu tylko dwóch wyrazów szeregu Taylora było dość bliskie, ale nie doskonałe.
Odpowiedź
W przypadku takiego pytania zazwyczaj dobrym pomysłem jest sporządzenie wykresu funkcji, aby dowiedzieć się, jak się zachowują. eby chcesz uzyskać odpowiedzi w postaci liczb rzeczywistych.
Możemy dodać 2x po obu stronach, a następnie podzielić przez 2, aby otrzymać x = 1.3 \ sin (x). Funkcja sinus jest ograniczona między -1 a 1, więc musimy zająć się tylko wartościami x między -1,3 a 1,3. Wykres y = x to po prostu prosta. Wykres y = 1,3 \ sin (x) jest nachylony w górę między -1,3 a 1,3, ponieważ 1,3 jest mniejszy od kąta prostego, a sinus rośnie od – \ pi / 2 do \ pi / 2.
Jeśli znasz jakiś rachunek różniczkowy, wiesz, że tempo wzrostu 1,3 \ sin (x) wynosi 1,3 \ cos (x). Tempo zmian wzrasta, a następnie ponownie maleje (co nazywa się punktem przegięcia). Wykres y = 1,3 \ sin (x) jest wklęsły w górę od -1,3 do 0, a następnie wklęsły w górę od 0 do 1,3. Dość łatwo zauważyć, że rozwiązaniem jest x = 0. Ponieważ nachylenie y = 1,3 \ sin (x) jest większe niż nachylenie y = x w tym punkcie, przecina się tam z dołu do góry. W tym momencie zdecydowałem, że powinienem obliczyć wartość 1.3 \ sin (1.3). Pamiętaj oczywiście, że funkcja sinus dotyczy kątów podanych w radianach. Jest mniejsza niż 1,3.
W tym momencie możesz wywnioskować naturę sytuacji. Te dwie funkcje przecinają się trzykrotnie od -1,3 do 1,3. Nazwij pozytywne rozwiązanie c. Ze względu na symmatykę (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) ujemnym rozwiązaniem jest -c. Wklęsłość 1,3 \ sin (x) zapobiega istnieniu innych rozwiązań. Pozostaje więc tylko dowiedzieć się, czym jest c.
Niektórzy uczniowie uważają za dziwne to, że często nie ma „zamkniętej formy” rozwiązania takiego równania. Możemy powiedzieć, że istnieje rozwiązanie między 0 a 1,3, ale uważam, że w tym przypadku nie mamy na to wzoru w postaci znanych funkcji. Więc jeśli chcesz sobie z tym poradzić, musisz zdecydować, co chcesz o tym wiedzieć.
Jeśli chcesz obliczyć to z pewną dokładnością, istnieje kilka metod. Istnieje naiwne podejście, które działa w tym przypadku. Jeśli weźmiesz wartość x między 0 a 1,3, jeśli jest mniejsza niż rozwiązanie, to 1,3 \ sin (x) jest większe, a jeśli jest większe niż rozwiązanie, to 1,3 \ sin (x) jest mniejsze. Więc jeśli nadal będziesz zastępować swoją wartość x przez 1,3 \ sin (x), zbliża się ona do pierwiastka. Powiedzmy, że zaczynam od x = 1,0. Następnie 1.3 \ sin (1) = 1,9039 … więc użyj tego jako wartości x w następnej kolejności. Ten proces jest zbieżny w rozwiązaniu, chociaż niezbyt szybko, ponieważ każdy krok tylko nieco przybliża wartość do rozwiązania.
Druga metoda polega na podzieleniu przedziału. Moglibyśmy więc spróbować obliczyć 1,3 \ sin (1.1) i 1,3 \ sin (1.2), aby uzyskać pierwsze miejsce dziesiętne rozwiązania. Ponieważ 1.3 \ sin (1.1) 1.2 wydaje się, że pierwiastek zawiera się między 1,1 a 1,2. Następnie możemy spróbować 1.3 \ sin (1.15), aby zobaczyć, czy rozwiązanie jest mniejsze czy większe niż 1,15. Ta metoda również nie osiąga zbieżności tak szybko, chociaż działa dobrze w niektórych sytuacjach, w których nie działa pierwsza metoda.
Jest kilka innych metod ( Root- algorytm wyszukiwania – Wikipedia ), zwłaszcza metoda siecznych i metoda Newtona. Zbiegają się one szybciej.
Metoda siecznych zachowuje dwa przybliżenia po obu stronach, na przykład 1.1 i 1.2. Następnie udajemy, że oba wykresy są liniami prostymi, aby uzyskać przybliżone rozwiązanie. Obliczenia nie są tak proste, chociaż nie są do końca skomplikowane.
Iteracja Newtona polega na narysowaniu linii stycznej do krzywej w celu przybliżenia miejsca przecięcia się dwóch krzywych, a następnie powtórzenie. Jeśli zaczynasz od wartości wystarczająco zbliżonej do korzenia, generalnie zbiega się ona dość szybko.Liczba cyfr dokładności generalnie podwaja się z każdym krokiem (chociaż wydaje się mało prawdopodobne, że ktoś chce mieć wiele cyfr dokładności do korzenia).