Najlepsza odpowiedź
Istnieją dwa sposoby sprawdzenia, czy macierz (a tym samym układ równań, który reprezentuje macierz) ) ma unikalne rozwiązanie, czy nie.
a. Metoda Cramera.
Przekształć układ równań w postać macierzową AX = B, gdzie A = macierz współczynników, X = macierz zmiennych i B = macierz wyników.
Nazwij macierz współczynników jako D. W przypadku macierzy 3 x 3, zastąp pierwszą, drugą i trzecią kolumnę macierzy D wynikami Macierz kolumn, aby uzyskać macierze Dx, Dy i Dz.
- Jeśli D nie jest równe 0 i jeśli przynajmniej jedno z Dx, Dy i Dz nie jest równe 0, to układ równań jest spójny i ma unikalne rozwiązanie.
- Jeśli D = 0 i jeśli Dx, Dy i Dz = 0, ale co najmniej jeden ze składników macierzy współczynnika (aij) lub co najmniej jeden z nieletnich 2 x 2 nie jest równy 0, to układ równań jest spójny i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
- Jeśli D = 0 i przynajmniej jedno z Dx, Dy i Dz nie jest zerem, to układ równań jest niespójny (brak rozwiązania).
Zatem układ równań daje Unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wartość wyznacznika nie jest równe zero.
b. Metoda rangowa
Zapisz układ równań w formacie macierzy AX = B gdzie A = macierz współczynników, X = macierz zmiennych i B = macierz wyników.
Znajdź rangę macierzy A.
Zapisz macierz rozszerzoną [A, B]
Ustal rangę macierzy rozszerzonej [A, B]
- 1. Jeśli rząd macierzy A nie jest równy rangi macierzy rozszerzonej, to układ równań jest niespójny i nie ma rozwiązania.
- Jeśli rząd obu macierzy jest równy i równy liczbie nieznane zmienne w systemie i jeśli macierz A nie jest pojedyncza, to układ równań jest spójny i ma unikalne rozwiązanie.
- Jeśli ranga obu macierzy jest równa, ale ranga jest mniejsza niż liczba niewiadomych, to układ równań jest spójny i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są więc tylko trzy możliwości – niespójne i brak rozwiązania, zgodne z wyjątkowym rozwiązaniem, zgodne z nieskończenie wieloma rozwiązaniami.
Więc wydajność systemu Unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy ranga macierzy współczynników = ranga macierzy rozszerzonej = liczba niewiadomych.
Odpowiedź
Teoria mówi, że Ax = b ma unikalne rozwiązanie, jeśli \ det (A) \ neq0, w przeciwnym razie nie ma rozwiązania lub jest nieskończenie wiele. W tym przypadku macierz nazywa się pojedyncza
Jednak praktyka mówi, że prawie nigdy się to nie zdarza. Więc każdy zestaw równań można rozwiązać? Tak i nie. Jeśli macierz jest prawie pojedyncza, możesz otrzymać rozwiązanie, ale nie będzie ono znaczące. Powodem jest to, że małe fluktuacje po prawej stronie mogą powodować ogromne fluktuacje (o kilka rzędów wielkości) w rozwiązaniu. W tym przypadku system nazywa się źle uwarunkowany . To niedobra rzecz, ponieważ w trakcie obliczeń możesz stracić znaczące cyfry z powodu odejmowania prawie równych ilości.
Po czym możesz to stwierdzić? Numer warunku \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | jest miarą teoretyczną. Najlepsza wartość to 1, im większa, tym gorsza. Ale nie jest to takie łatwe do obliczenia. Praktycznym sposobem na zrobienie tego jest wybranie niewielkiego, losowego zaburzenia po prawej stronie i porównanie dwóch rozwiązań. Jeśli różnią się one znacznie, oznacza to, że masz źle uwarunkowany system.