Najlepsza odpowiedź
Sposób, w jaki udowodnisz swoją tożsamość, zależy w dużej mierze od tego, jak Ty pomyśl o sinusie i cosinusie.
Jeśli pomyślisz o sinusie i cosinusie jako o stosunkach boków trójkąta prostokątnego (jak w liceum, gdzie uczą sinusa jako przeciwnego do przeciwprostokątnej), to otrzymasz trójkąt prostokątny z bokami a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (ten ostatni przez trójkąt pitagorejski) i \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Jeśli pomyślisz o sinusie i cosinusie jako współrzędnych punktu na okręgu jednostkowym (sparametryzowanych przez długość łuku okręgu), to zgodnie z definicją okręgu jednostkowego każdy punkt spełnia x ^ 2 + y ^ 2 = 1, więc punkt (\ sin \ theta, \ cos \ theta) również, więc \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus i cosinus można również zdefiniować jako niezależne rozwiązania równania różniczkowego f = -f, gdzie \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Ponieważ istnieją tylko dwa niezależne rozwiązania równania i łatwo zauważyć, że f ^ {(n)} jest rozwiązaniem, musi być tak, że \ sin x, \ sin x, \ sin x nie mogą być niezależnymi rozwiązaniami. W rzeczywistości \ sin x = – \ sin x, więc \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, więc \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Na tej podstawie możemy niejawnie odróżnić \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x, aby otrzymać 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Czyli wartość \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x jest stałą, a obliczona na 0 otrzymujemy \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, więc \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus i cosinus można również zdefiniować za pomocą szeregu potęg \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Ostrożne rozwinięcie tych szeregów potęg w wyrażeniu \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x pokaże wszystkie wyrazy obejmujące x ^ n anuluj, pozostawiając jedynie stałą 1 jako wartość.
Odpowiedź
Aby o tym pomyśleć, musimy rozważyć, jakie są stosunki trygonometryczne. Wiemy, że współczynnik sinusoidalny jest równy kątowi przeciwległemu do boku nad przeciwprostokątną pod kątem lub o / h. Wiemy również, że współczynnik cosinus jest równy sąsiedniej stronie do kąta nad przeciwprostokątną lub a / h. Następnie widzimy, że oba te stosunki są podniesione do kwadratu, co oznacza, że tożsamość trygonometryczna, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, jest równoważna (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, co jest równe o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Ponieważ mamy wspólny mianownik, możemy połączyć te dwa równania, aby otrzymać (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Następnie możemy spojrzeć na to i zdać sobie sprawę, że definiujemy wszystkie boki trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Widzimy, że skoro każda z tych wartości o, a i h jest różnymi bokami trójkąta, są one równe a, b i c. Wartość c w twierdzeniu Pitagorasa jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, więc wiemy, że h = c. Oznacza to, że a i b są równe o i a. Nie ma znaczenia, która litera jest przypisana, ponieważ wyniki się nie zmienią. Możemy więc zobaczyć, że z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, co prowadzi do o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Oznacza to, że możemy podstawić licznik z naszego poprzedniego równania, czyniąc go równoważnym (h ^ 2) / (h ^ 2). Wreszcie wiemy, że każda zmienna podzielona przez siebie jest równa 1, więc to równanie jest równe 1. Jeśli wrócimy do pierwotnego równania, udowodniliśmy, że sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.