Najlepsza odpowiedź
Aby to udowodnić, użyj wzoru na odejmowanie sinusa.
ie, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Tutaj a = π i b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Stąd udowodniono
Odpowiedź
Dowód 1:
Najprostszy sposób udowodnienia
cos (π / 2 – x) = sin x
polega na umieszczeniu A = π / 2, B = x we wzorze trygonometrycznym
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
i otrzymamy
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Podstawiając cos π / 2 = 0 i sin π / 2 = 1 w (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Udowodniono)
Dowód 2:
Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym w punkcie B. Niech AB będzie podstawą, a AC przeciwprostokątną. Jeśli oznaczymy kąt C przez x, kąt podstawowy A = (π / 2 – x) tak, że A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π lub 180 °.
Teraz dla kąta podstawowego A, BC jest prostopadłą.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = podstawa / przeciwprostokątna = AB / AC ………… .. (3 )
Dla kąta C, AB jest prostopadłą, a zatem
sin C = sin x = prostopadła / przeciwprostokątna = AB / AC ……………. (4)
Równanie (3) i (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Udowodniono)
Dowód 3:
Użyj wzoru Eulera
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
, który definiuje symbol eⁱᶿ dla dowolnej wartości rzeczywistej θ. Tutaj i = √-1.
∴ Możemy umieścić put = (π / 2 – x) we wzorze i napisać
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Lub e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Teraz e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i. 1 = i i e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Albo i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Ponieważ i² = -1]
Zrównanie części rzeczywistej i urojonej,
cos (π / 2 – x) = sin x (Udowodniono)
i cos x = sin (π / 2 – x)
Uwagi końcowe:
Spośród trzech przedstawionych tutaj metod udowodnienia danego twierdzenia, preferowaną metodą powinien być dowód 1. Dzieje się tak, ponieważ jest prosty, prosty i szybki. Przeciętny student może to zrobić mentalnie w około 30 sekund. W dowodzie 2 istnieje możliwość nieporozumień co do tego, która podstawa jest prawą prostopadłą do wzięcia. Poza tym trzeba poświęcić więcej czasu na narysowanie trójkąta, zaznaczenie boków, kątów itp. Dowód 3 jest w porządku; ale niewielu jest wygodnych lub dobrych w pracy ze złożonymi funkcjami. Metoda wymaga więcej algebry niż inne metody; ale daje bonus, a mianowicie: dowodzi wzoru cos x = sin (π / 2 – x).