Najlepsza odpowiedź
Wyrażenie w opublikowanym pytanie nie jest całkiem poprawne.
Twierdzenie dwumianowe
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
zachodzi dla wszystkich liczb zespolonych x i y i nieujemne liczby całkowite n .
Niech x = 1 i y = -1. Następnie po prawej stronie zobaczysz żądane zmienne różnice i sumy kombinacji (to, co określasz jako wybierz s). Po lewej stronie masz 0 ^ n, które najwyraźniej zakładasz, że wynosi 0. Jednak twierdzenie dwumianowe, jak stwierdzono powyżej, odnosi się do wszystkich nieujemnych liczb całkowitych n , który zawiera 0, w którym to przypadku lewa strona to 0 ^ 0 = 1 – przypadek, na który nie pozwoliłeś.
Jeśli mi nie wierzysz, spróbuj tego trywialnego ćwiczenia: wypisz kilka pierwszych rzędów trójkąta Pascala. Formuła „wybierz” w opublikowanym pytaniu jest równoważna wybraniu dowolnego wiersza i rozpoczęcie od skrajnego lewego elementu (który zawsze wynosi 1, niezależnie od wybranego wiersza), a następnie odjęcie następnego elementu po prawej stronie i kontynuowanie naprzemiennego dodawania i odejmowania wszystkie elementy tego rzędu. Zauważ, że w przypadku wiersza zawierającego 1 1 i wiersza zawierającego 1 2 1 i wiersza zawierającego 1 3 3 1 wszystkie dają w tym procesie 0. Co się jednak dzieje w górnym wierszu, który zawiera tylko 1? Zaczynamy od tego 1 i przygotowujemy się do odejmowania następnego elementu, ale nie ma kolejnego elementu, więc już skończyliśmy z wynikiem 1, a nie 0. Nie ma potrzeby wykluczania górnego wiersza z koncepcji, że naprzemienne różnice a sumy dają 0 ^ n dla wszystkich wierszy.
Jeśli jesteś jednym z tych, którzy mają problem z 0 ^ 0 = 1, naprawdę musisz sobie z tym poradzić, przynajmniej w kontekście wykładników całkowitych. Jeśli uznasz 0 ^ 0 za niezdefiniowane, równie dobrze odrzucasz twierdzenie dwumianowe i powyższy dowód, ponieważ nie możesz użyć twierdzenia dwumianowego do obliczenia (0 + y) ^ {n} i (x + 0) ^ { n}, niezależnie od wartości n , ponieważ ostatni człon w rozwinięciu dwumianowym dla pierwszej potęgi i pierwszy człon w rozwinięciu dwumianowym dla drugiej potęgi oba zawierają 0 ^ 0, więc musiałbyś nazwać tę sumę niezdefiniowaną i dodać zupełnie niepotrzebne i głupie wykluczenie, że twierdzenie dwumianowe nie ma zastosowania do x = 0 i dla y = 0. Naruszyłbyś również regułę pustego produktu, która wskazuje, że iloczyn żadnych czynników nie może być multiplikatywnym elementem tożsamości , 1. Relacja 0! = 1 jest również ważne dla twierdzenia dwumianowego, jak również dla wielu innych miejsc – ale z 0! mnożymy przez siebie żadne czynniki zaczynające się od 1, więc jest to pusty iloczyn, a ostatecznie jest to reguła pustego iloczynu, która mówi nam, że 0! = 1. Ta sama reguła dotycząca pustego iloczynu mówi nam, że x ^ 0 = 1 dla wszystkich liczb zespolonych x , a wartość x nie dotyczy reguły pustego produktu, więc tak, x = 0 ma zastosowanie tak samo dobrze, jak każda inna wartość x – żadne wyjątki nie są w żaden sposób uzasadnione.
Istnieją wiele innych powodów, dla których 0 ^ 0 = 1 przynajmniej w kontekście wykładników całkowitych: formułowa definicja wielomianów i szeregów potęgowych przy użyciu notacji ∑ oraz manipulowanie takimi wielomianami i szeregami potęgowymi, różne problemy kombinatoryjne i inne. Nie ma żadnego rozsądnego uzasadnienia, aby uznać, że 0 ^ 0 ma jakąkolwiek wartość inną niż 1 lub traktować ją jako nieokreśloną, przynajmniej w kontekście wykładników całkowitych.
Niektórzy z was mogą być nieco zaniepokojeni piszę tak, ponieważ narusza to wszystko, czego się nauczyłeś – być może tak wiele niepokoju, że trudno ci nawet zastanowić się nad możliwą ważnością tego, co napisałem, i masz zamiar napisać komentarz w odpowiedzi, aby powiedzieć mi, gdzie się mylę. Abyś nie wyglądał głupio z błędnymi komentarzami, przejdę dalej i odniosę się do tego, czego się spodziewam:
- „Mój podręcznik i mój nauczyciel powiedzieli, że 0 ^ 0 jest nieokreślone i mogli nie myl się. ” Nienawidzę mówić ci o tym i powodować, że twoja bańka pęka w odniesieniu do twoich nauczycieli i podręczników, ale w podręcznikach do matematyki (i innych przedmiotów) szkół średnich jest wiele tematów, które są nadmiernie uproszczone do tego stopnia, że są niepoprawne. Moje uwagi tutaj nie mają na celu zniechęcenia nauczycieli matematyki ze szkół średnich – mają ambitne zadanie i większość z nich naprawdę chce wykonywać świetną robotę i pomagać uczniom w postępach.Większość nauczycieli matematyki w szkołach średnich nie studiowała matematyki na studiach uniwersyteckich – większość z nich była z pedagogiki ze specjalizacją z matematyki. Dowiadują się o tym, jak myślą różni uczniowie, jak na różne sposoby wyjaśniać różne kwestie, jak znaleźć i zdiagnozować problemy uczniów z materiałami oraz inne bardzo cenne rzeczy niezwiązane bezpośrednio z matematyką. Spędzają czas w pozorowanych klasach, a także w prawdziwych salach lekcyjnych pod okiem właściwego nauczyciela, aby ćwiczyć. Otrzymują wiele dogłębnych przeglądów matematyki, której oczekiwaliby nauczania, czyli na poziomie szkoły średniej. W swoim programie wezmą udział w kilku kursach matematycznych na poziomie uniwersyteckim, ale nie będzie ich tak dużo ani tak zaawansowanych, jak na kierunku matematyka. Kierunki matematyki nie robią tego, ale na swoich bardziej zaawansowanych kursach mają większy kontakt z tym, co robią prawdziwi, na żywo, zawodowi matematycy, a większość nauczycieli matematyki nie ma takiego ujawnienia – nie zdają sobie sprawy, jak matematycy faktycznie definiują rzeczy takie jak liczby naturalne i liczby całkowite, ograniczona ekspozycja na matematyków używających radianów zamiast stopni dla miar kątowych (a brak symbolu jednostki dla kątów oznacza radiany, a nie stopnie), bez przesiąkania tego, co profesjonalni matematycy uważają za właściwą kolejność operacji (i nie , to nie jest PEMDAS, BODMAS,…) itd. Twoi nauczyciele matematyki uczą tego, czego naucza książka, i nie są świadomi, że uczą cię rzeczy, które są sprzeczne z tym, co robią zawodowi matematycy.
- Prawa dzielenia wykładników: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, co jest niezdefiniowane, więc 0 ^ 0 musi być niezdefiniowane, ponieważ są równe. Wykonano nieprawidłowy krok w second =. Jednym z praw dzielenia wykładników jest b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, ale ma pewne ograniczenia, aby można było z niego korzystać. Jedną z nich jest to, że zastosowanie prawa w żadnym momencie nie może generować wyrażenia, które zawiera odwrotność 0 lub dzielenie przez 0. Dlatego używanie tego prawa jest zabronione, gdy b = 0, ponieważ generuje nonsens – i to jest nonsens, którego chcesz użyć, aby „udowodnić” swój punkt widzenia. Przepraszam, ale żeby coś udowodnić, nie możesz wykorzystać czegoś, co jest tak bzdurą, że jest nieważne. Nieprawidłowe kroki stanowią nieudany dowód. Ponadto pisząc rzeczy takie jak a = b = c gdzie c jest niezdefiniowane, jest nieprawidłowe – a i b może być lub nie być prawidłowe. Nie wolno używać równań, jeśli co najmniej jedna ze stron jest nieokreślona lub w inny sposób nieważna. Nie wolno ci wnioskować nawet, że 1/0 = 1/0, ponieważ obie strony są nieokreślone, więc nie możesz powiedzieć, że są równe – skąd możesz wiedzieć, że dwie rzeczy są równe, skoro nawet nie masz pojęcia, co to za dwie rzeczy oznacza (i nie możesz mieć żadnego pomysłu, ponieważ nie mają definicji).
- „0 ^ 0 jest formą nieokreśloną, więc nie może mieć wartości – tak mówi mój podręcznik do rachunków”. Pojęcie form nieokreślonych jest bardzo realne i użyteczne, o ile trzymasz je w zamierzonym kontekście. Formy nieokreślone mają zastosowanie wyłącznie w kontekście granic – nie można spojrzeć na tę formę i określić, czy istnieje granica, a jeśli tak, to jaka jest ta wartość graniczna. Zapisanie 0 ^ 0 odnosi się do wartości f (x, y) = x ^ y at (x, y) = (0, 0) – nie jaki jest limit, ponieważ x i y niezależnie dążą do 0. Może istnieć ograniczenie, ale funkcja nie jest tam zdefiniowana; funkcja może być tam zdefiniowana, ale limit nie istnieje. Te dwie koncepcje nie mają ze sobą nic wspólnego, poza tym, że gdy jedna lub obie (definiująca wartość i wartość graniczna) zawiodą, funkcja nie jest w tym momencie ciągła. Powiedzenie, że limit przybiera postać 0 ^ 0, oznacza, że na podstawie samych tych informacji nie można stwierdzić, czy limit istnieje i jaka jest jego wartość. Fakt ten nie ma nic wspólnego z tym, czy 0 ^ 0 = 1, czy jest niezdefiniowany. Powiedzenie 0 ^ 0 = 1 nie oznacza, że limit przyjmujący postać 0 ^ 0 musi mieć wartość 1.
- 0 ^ y = 0 dla wszystkich dodatnich y i x ^ 0 = 1 dla wszystkich niezerowych x . (Wiele osób używających tego argumentu zapomina, że y nie może być liczbą ujemną i traktować te dwa przypadki jako symetryczne.) Jeśli podstawisz 0 dla obu x i y , w jednym przypadku 0 ^ 0 = 0, aw drugim 0 ^ 0 = 1 – sprzeczność , więc nie można go zdefiniować. Więc, zobaczmy. Istnieją dwie liczby, których kwadrat to 9: +3 i -3; tak więc pierwiastek kwadratowy z 9 to +3, ale pierwiastek z 9 to -3. Och, mamy sprzeczność, więc nie może być czegoś takiego jak pierwiastek kwadratowy z 9 – musi być nieokreślony.Nie, +3 jest bardziej użyteczną odpowiedzią niż −3, więc definiujemy √9 = 3. Fakt, że x ^ 0 = 1 nie tylko dla wszystkich niezerowych liczb rzeczywistych x ale także dla wszystkich niezerowych zespolonych x , a nawet wszystkich niezerowych kwaternionów x ; z drugiej strony, 0 ^ y działa w prosty sposób tylko dla dodatnich rzeczywistych x – nie ujemnych liczb rzeczywistych, nie urojonych, więc nie ma sensu wybierz definicję, która ma tylko jedną dziurę, zamiast poważnie rozważać opcję, która ma niezliczoną liczbę dziur ? Wynik 1 jest o wiele bardziej przydatny niż 0 dla 0 ^ 0. Jeśli jesteśmy skłonni nazwać pierwiastek kwadratowy z 9 równy +3, kiedy jest znacznie mniej powodów do preferencji, o ile bardziej nazywamy 0 ^ 0 = 1, gdy istnieje bardzo silny powód do preferencji. Reguła pustego iloczynu nakazuje wybór 1, a nie 0. W wielu praktycznych zastosowaniach 1 jest bardzo użytecznym wynikiem, podczas gdy 0 lub nieokreślony byłby wynikiem problematycznym. Żadna sensowna aplikacja nie ma 0 będącego użytecznym wynikiem, więc wybieramy 1.
Odpowiedź
\ text {Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ tekst {Zastąpienie a = 1 i x przez – 1}
(1 – 1) ^ n = \ Displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ Displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ oznacza 0 = \ Displaystyle \ binom {n} {0} – \ Displaystyle \ binom {n} {1} + \ Displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ tekst {QED}