Najlepsza odpowiedź
Tak, to problem Montyego Halla w przebraniu. „Przełączanie się” w tym problemie jest tylko sposobem na podkreślenie, że jedno prawdopodobieństwo jest inne niż drugie. W tym przypadku wolałbyś mieć drzwi, które gospodarz mógł otworzyć, ale tego nie zrobił. Tutaj wolałbyś być więźniem, którego strażnik mógł nazwać, ale tego nie zrobił. To samo.
A jest źle. Myśli, że dowiedział się tylko o B, a niczego o A lub C. Ale dowiedział się czegoś o C: strażnik mógł go nazwać, ale nie t. Z powodu rzutu monetą w 50\% przypadków, w których A zostałby ułaskawiony, strażnik nazwałby C. Ale nazwałby B w 100\% przypadków, w których C zostałby ułaskawiony. Ten stosunek – od 50\% do 100\% – sprawia, że prawdopodobieństwo, że C zostanie ułaskawione, jest teraz dwukrotnie większe.
Pomijając historię: cytowany przez Ciebie problem pierwotnie opublikowany w październikowym (chyba) numerze magazynu Scientific American Martina Gardnera z 1959 roku. W tym samym numerze przeprosił za złą odpowiedź na to pytanie:
- Mr. Smith ma dwoje dzieci. Przynajmniej jeden z nich to chłopiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje dzieci są chłopcami?
Początkowo powiedział, że odpowiedź to 1/3. Ale przedstawione pytanie jest niejednoznaczne; zależy to od tego, w jaki sposób dowiedziałeś się, że przynajmniej jedno dziecko było chłopcem.
Jeśli to dlatego, że zapytałeś „Czy przynajmniej jedno jest chłopiec? ”, wtedy 1/3 jest poprawna. Ale jeśli był to przypadkowy fakt, którego się nauczyłeś, co oznacza, że mogłeś również dowiedzieć się, że „przynajmniej jedna to dziewczyna”, to odpowiedź brzmi 1/2.
I faktycznie, Problem dwojga dzieci jest po prostu odmianą Problemu trzech więźniów z czterema więźniami zamiast trojga lub Problemu Monty Hall z czterema drzwiami. Gardner przedstawił trzech więźniów, aby wyjaśnić, jak działają te problemy, i zamieścił część dotyczącą rzutu monetą konkretnie , aby pokazać, w jaki sposób to proces, w którym uzyskano informacje, a nie same informacje, decyduje o odpowiedzi.
Odpowiedź
Problem trzech więźniów można łatwiej zrozumieć, jeśli będziemy trzymać się prawdopodobieństw warunkowych, a nie późniejszych.
Zatem trzech więźniów A, B, C jest w celi śmierci, a jeden z nich został ułaskawiony na podstawie gry losowej. Więzień A prosi naczelnika o ujawnienie przynajmniej nazwiska jednego z pozostałych więźniów, któremu nie ułaskawiono.
Zadając to pytanie, A utworzył dwie grupy.
- Grupa I – z udziałem samego A.
- Grupa II – z udziałem B i C.
W przypadku tych dwóch grup są dwa wydarzenia:
- Ktoś z grupy I jest ułaskawiony. (sam A).
- Ktoś z grupy II jest ułaskawiony (B lub C).
Ponieważ oboje te zdarzenia są równoważne, prawdopodobieństwa obu zdarzeń są \ frac {1} {2}. W drugiej grupie prawdopodobieństwa wyboru B lub C są ponownie \ frac {1} {2}.
Naczelnik nazywa teraz B więźniem, który nie został ułaskawiony.
Ponieważ naczelnik nic nie powiedział o więźniu C, oznacza to, że prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia (kogoś ułaskawionego z grupy obejmującej B i C) jest nadal takie samo – \ frac {1} {2}.
Ale ponieważ B zostało wyeliminowane, oznacza to, że prawdopodobieństwo ułaskawienia C z Grupy II wzrosło z \ frac {1} {2} do 1 !!! To jest jego szansa na uzyskanie ułaskawienia podwojona !!!
Z drugiej strony, z tego samego powodu, skoro naczelnik nic nie powiedział o więźniu A, prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia (kogoś ułaskawionego) pierwsza grupa) jest wciąż ta sama – \ frac {1} {2}.
Pytanie więźnia A nie dostarcza A żadnych nowych informacji o jego losie. Z drugiej strony, więzień C (któremu A przekazał te informacje), teraz wie, że jego szanse na uzyskanie ułaskawienia podwoiły się.
To wszystko, co musisz wiedzieć, aby zrozumieć istotę Trzech Więźniów Problem. Jeśli jednak chcesz zweryfikować swoją intuicję za pomocą wzoru Bayesa. Możesz to zrobić w sposób pokazany poniżej:
Sformułowanie Bayesa problemu trzech więźniów
Niech A, B i C będą wydarzeniami odpowiadającymi uwolnieniu więźniów A, B i C.I niech b będzie zdarzeniem, w którym naczelnik powie A, że więzień B ma zostać stracony, zatem, używając twierdzenia Bayesa, prawdopodobieństwo późniejszego ułaskawienia A wynosi:
\ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Prawdopodobieństwo C z drugiej strony ułaskawienie to:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Zatem prawdopodobieństwo późniejszego ułaskawienia A pozostaje takie samo jak prawdopodobieństwo apriori (\ frac {1} {3}), podczas gdy prawdopodobieństwo ułaskawienia C jest podwojone.
Wpływ prawdopodobieństw warunkowych na prawdopodobieństwa późniejsze można zobaczyć w wyrażeniu P (b | A) (\ frac {1} {2}) i P (C | b) (1).