Najlepsza odpowiedź
Liczba zespolona to liczba dwuczęściowa. Ma część rzeczywistą i część urojoną. Zwykle zapisujemy to w formie,
a + bi, gdzie i jest pierwiastkiem kwadratowym z ujemnej liczby, tj. (-1) ^ (1/2)
Tymczasem , kwadrat liczby to sama liczba razy. Oznacza to, że
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Z czymś podobnym napotkaliśmy, gdy rozważaliśmy czynniki równań kwadratowych. Istnieje systematyczne podejście do rozszerzania iloczynu dwóch dwuczęściowych czynników. Być może napotkałeś akronim „FOIL”:
- Pomnóż dwa F pierwsze wyrazy
- Pomnóż dwa O wyrazy uterowe
- Pomnóż te dwa I nne terminy
- Pomnóż dwa L ast wyrazy
Zsumuj cztery wyrazy dla odpowiedzi
Zastosuj to samo podejście FOIL , z (a + bi) * (a + bi), uzyskując
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Możemy trochę przeorganizować. Środkowe dwa wyrazy są takie same, więc możemy je wymienić raz, ale pomnożone przez dwa.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
A teraz spójrz na ten ostatni wyraz i zdaj sobie sprawę, że kwadrat iloczynu można zapisać jako iloczyn oddzielnych kwadratów. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Zastosujmy tę regułę:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Ale „i” to pierwiastek kwadratowy z -1. Kwadrat pierwiastka kwadratowego z liczby to sama liczba. Więc (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Podłączmy to.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Ten ostatni termin jest nadal brzydki. Możemy zamienić „razy minus jeden) na drugą stronę i przepisać cały wyraz jako odejmowanie.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Ale patrząc na wyrażenie, nie stosujemy formatu części rzeczywistej, po której następuje część urojona. Mamy część rzeczywistą, część urojoną i inną część rzeczywistą. Pogrupujmy razem rzeczywiste części.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Odpowiedź
Najpierw pomyśl o liczbie zespolonej, a + bi jako parze uporządkowanej (a, b ). W PŁASZCZYZNIE ZŁOŻONYM z poziomą OŚ RZECZYWISTĄ, gdzie normalnie znajduje się oś x, i pionową OŚ WYOBRAŹNĄ, gdzie normalnie znajduje się oś y, rysujesz punkt (a, b) w normalny sposób. Teraz, odległość od początku do punktu (a, b), jak sądzę, nazywa się MODUŁEM liczby zespolonej, nazwijmy ją r.
Wiemy, że r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) za pomocą twierdzenia PITAGOREJSKIEGO. (Przepraszam za notację, ale jestem do tego ograniczony.)
Również kąt między dodatnią osią rzeczywistą a linią od początku do (a, b) zadzwonimy do Theta (użyjmy do tego T). (Nazywa się to ARGUMENTEM liczby zespolonej)
Teraz. Liczba zespolona a + bi może być zapisana w POLARNEJ FORMIE jako
a + bi = r (Cos T + iSin T) ponieważ
a = r CosT i. b = r Sin T
Aby wziąć pierwiastek kwadratowy z a + bi, użyj postaci biegunowej.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Aby to zrobić proste, wystarczy spojrzeć na wykres liczby zespolonej a + bi, z linią od początku do (a, b). Teraz obróć linię do połowy z powrotem do osi x i skróć ją do pierwiastka kwadratowego, o ile była. Współrzędną tego punktu końcowego jest pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej er pierwiastek kwadratowy jest tylko 180 stopni stąd.
Aby to udowodnić, weźmy pierwiastek kwadratowy z Z = -4
Wykres jest punktem na ujemnej osi rzeczywistej , 4 jednostki na lewo od początku. Kąt T = 180 stopni.
aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z -4, po prostu obróć linię z powrotem do 90 stopni (połowa 180) i skróć jej długość do 2 pierwiastka kwadratowego z 4. Uzupełniamy o 2 jednostki na urojonej osi. Więc pierwiastek kwadratowy z -4 to 2i. A drugi pierwiastek kwadratowy to -2i, 180 stopni dalej.
W symbolach:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
i 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Aby uzyskać pierwiastek kwadratowy z (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= rodnik 2 na 2 + (i) rodnik 2 na 2.