Najlepsza odpowiedź
Po przejrzeniu innych już opublikowanych odpowiedzi wcale nie jestem zadowolony z ich kompletności. … I jako doświadczony nauczyciel matematyki czuję się zobligowany do udzielenia pełnej odpowiedzi.
Wzór na cos (2x), który wskazałeś, jest jedną z trzech tożsamości podwójnego kąta dla cosinusa. Rozwiązanie tego równania dla sin (x / 2) daje półkątową identyczność dla sinusa.
Zwróć uwagę, że gdzie Oznaczyłem *. Jedna z mniej znanych reguł trygonometrii wskazuje, że można równoważnie podzielić wszystkie argumenty funkcji trygonometrycznej przez tę samą stałą po obu stronach równania. Właściwie możesz podzielić dowolną stałą. ale to nie zawsze może być przydatne. Spróbuj rozwiązać powyższe równanie na sin (x / 3), a następnie użyj go, aby znaleźć sin (pi / 12). Działa pięknie.
Teraz, aby faktycznie użyć wzoru sin (x / 2), musisz manipulować podanym równaniem, używając równoważnego, złożonego ułamka, jak pokazano tutaj:
Oczywiście jest to pokazane na pierwszym obrazku powyżej. Oprócz poznania / wyprowadzenia tożsamości półkąta, większym wyzwaniem jest faktycznie zastosowanie jej.
Odpowiedź
I. Zastosujmy podejście do rozwiązywania problemów, znane jako równoważność .
W tym podejściu wybieramy korzystny obiekt lub zbiór obiektów i patrzymy patrzeć na nie z różnych… punktów widzenia z nadzieją, że uda nam się uzyskać owocną relację w tym procesie.
Jednym z takich obiektów lub pojęć może być pole kwadratowe .
Zaczynamy od trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna jest jednością, wybieramy kąt x i zaznaczamy długości boków trójkąta jako \ cos x, który zgadzamy się traktować jako trójkąt height i \ sin x, które zgadzamy się traktować jako podstawę trójkąta:
Zatem mamy udowodniony fakt, że kwadratowe pole trójkąta jest iloczynem jego podstawy o połowę e powyżej wysokości:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Następny krok jest dość trudne, ponieważ w próżni tak naprawdę nie wiemy dokładnie, co nas czeka po drugiej stronie 2 \ sin x \ cos x. Z punktu widzenia odkrywców wpatrujemy się w otchłań nieznanego. Nazwij to więc intuicją, szczęśliwą myślą lub po prostu nosem, ale rozumujemy w ten sposób:
OK, znaleźliśmy sposób, aby dołączyć konkretne pojęcie (kwadratowy obszar) do abstrakcyjnego w inny sposób i, spójrzmy prawdzie w oczy to raczej tajemnicze wyrażenie, ale – nie do końca, ponieważ nadal musimy tam pracować z czynnikiem 2.
Jak to zrobić?
A co powiesz na połączenie dwóch identycznych trójkątów razem?
Zatem wysokość, czyli \ cos x w naszym żargonie, pozostaje taka sama, ale wygrywamy łącząc dwie identyczne podstawy, \ sin x w naszym żargonie, w jedną:
Zwróć uwagę, że pedantycznie śledzimy / interpretujemy Twoje wyrażenie.
Teraz jest czas na równoważność , aby stać wysoko i być liczonym. Nowy kształt złożony jest nadal trójkątem, a jego kwadratowa powierzchnia to nadal:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
ale mamy prawo inaczej spojrzeć na ten sam kształt: jeśli traktujemy bok o długości 1 jako podstawę, to prostopadła do niego, pokazana na czerwono, jest wysokością. Ale kąt w górnym wierzchołku wynosi 2x. Dlatego nowa wysokość z definicji to:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
W związku z tym ten sam kwadratowy obszar tego samego trójkąta może być renderowany jako:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Ale ( 2 ) i ( 4 ) mają tę samą wielkość. Dlatego:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
skąd odkrywamy, że:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Aby uzyskać podobne, ale bardziej piśmienne traktowanie, zacznij od tego samego trójkąta co powyżej i podwoj długość jego boku \ sin x, konstruując okrąg \ sigma ze środkiem w B i promieniem BA:
Ale teraz AC przecina \ sigma w E (o ile x 5 ^ {\ circ}) i albo przez Twierdzenie Thalea, albo przez B3P31 Euclida (kąt w półkolu jest prawy) kąt przy E jest prawy:
a ponieważ trójkąty prostokątne ABC i AED mają wspólny kąt \ theta, wynika z tego, że \ angle ADE = x i z \ triangle AED dla ED mamy:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Ale z prawego trójkąta CED dla ED mamy:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
a zatem:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(możesz pomyśleć o tym mniejszym odpowiedniku, ponieważ użyliśmy długości odcinka linii, aby wypełnić lukę między dwoma elementami razem)
III. Najprawdopodobniej ta wersja może wydawać się zbyt zaawansowana, ale i tak ją pokażę iz dwóch powodów. Jednym z powodów jest wykazanie, że w matematyce nie tylko istnieje wiele różnych sposobów uzyskania tego samego wyniku, ale niektóre z nich mogą wydawać się zaskakujące. Drugi powód – będziesz mieć coś do nauczenia się z niecierpliwością.
W pewnym momencie swojej edukacji matematycznej możesz napotkać obiekty zwane liczbami zespolonymi . Za pomocą tych liczb nasze dwie funkcje trygonometryczne można zapisać w następujący sposób (za sprawą wielkiego szwajcarskiego matematyka Leonarda Eulera (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
gdzie e to Numer Eulera , a ja mam tę osobliwą właściwość, że i ^ 2 = -1, ale zignoruj to wszystko na chwilę i po prostu bez ogródek pomnóż powyższe dwa ułamki zgodnie z zasadami algebry gimnazjalnej:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
zgodnie z ( 5 ).