Najlepsza odpowiedź
Jak znaleźć pole powierzchni okrągłego pierścienia?
Okrągły pierścień jest w zasadzie torusem.
Pole powierzchni torusa to powierzchnia utworzona przez okrąg o promieniu r obrócony wokół osi w odległości R od środka koła (R> r). Oś przechodzi przez środek torusa.
W ten sposób otrzymujemy okrągły pierścień o grubości 2r z wewnętrznym promieniem Rr i zewnętrznym promieniem R + r.
Przekrój koła pierścień jest podany poniżej.
Rozważ małą część koła po lewej stronie, pod kątem \ theta do linii łącząc środki dwóch okręgów na przeciwległych końcach przekroju poprzecznego, pod kątem d \ theta do środka okręgu, jak pokazano na rysunku.
Łuk utworzony przez kąt d \ theta to r \, d \ theta.
Odległość tego łuku od środka pierścienia wynosi Rr \ cos \ theta.
Kiedy obrócimy ten łuk wokół osi przechodząc przez środek pierścienia, otrzymujemy pasek powierzchni pierścienia o wymiarach 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta.
Aby uzyskać pole powierzchni pierścienia pierścień musimy całkować od \ theta = 0 do \ theta = 2 \ pi.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ limits\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ left [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad powierzchnia okrągłego pierścienia wynosi 4 \ pi ^ 2rR.
Odpowiedź
Widziałem dwa rodzaje okrągłych pierścieni.
[1] Okrągły pierścień o okrągłym przekroju.
w tym przypadku, aby znaleźć pole powierzchni, wystarczy wykonać wycięty przekrój. Wyglądałby jak… cylindryczny pręt.
Wyznaczanie powierzchni to
Promień cylindrycznego pręta, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, gdzie R\_1 i R\_2 to promień wewnętrzny i zewnętrzny okrągłego pierścienia.
Długość cylindrycznego pręta, l = 2 \ pi R\_m, gdzie R\_m średni promień okrągłego pierścienia, tj. R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Powierzchnia = 2 \ pi rl = 2 \ times \ pi \ times \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ times (2 \ pi \ times \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
ie , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Okrągły pierścień bez okrągłego przekroju: na przykład weź prostokątny przekrój poprzeczny
jeśli przecinamy przekrój poprzeczny
Myślę, że powierzchnię można łatwo obliczyć. Zrób to sam!