Najlepsza odpowiedź
Jak znaleźć środek ciężkości przechylonego półkola?
Środek ciała nie zmienia się, jeśli zmienimy jego położenie.
Aby więc znaleźć środek ciężkości nachylonego półkola o promieniu r, dla wygody obrócimy go do pozycji pokazanej poniżej.
Z symetrii jasno wynika, że środek ciężkości leży na promieniu prostopadłym do podstawy półkola.
Rozważmy nieskończenie małe mały poziomy pasek o grubości dy, w odległości y od podstawy, jak pokazano na rysunku.
Długość paska to 2x.
Moment wszystkich takich pasków półkole wokół podstawy podzielone przez obszar półkola dalibyśmy nam odległość środka ciężkości od podstawy.
\ Rightarrow \ qquad \ bar y = \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ int \ limits\_0 ^ r 2xy \, dy.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, otrzymujemy x = \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}.
\ Rightarrow \ qquad \ bar y = \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ int \ limits\_0 ^ r 2y \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2} \, dy = – \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ left [\ frac {2} {3} \ left (r ^ 2-y ^ 2 \ right) ^ {3/2} \ right] \_0 ^ r
\ qquad \ qquad = – \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ left [- \ frac {2r ^ 3} {3} \ right] = \ frac {4r} {3 \ pi}.
Więc jeśli weźmiemy pod uwagę, że podstawa półkola o promieniu r leży na osi X ze środkiem podstawy na początku, współrzędne środka ciężkości to \ left (0, \ frac {4r} {3 \ pi} \ right).
Bez względu na orientację półkola , względne położenie centroidy pozostaje takie samo.
Odpowiedź
Aby znaleźć centroid o kształcie półkolistym , musisz znać promień (r), a następnie współrzędne x i y centroidy można znaleźć, jak pokazano poniżej: Czy zauważyłeś, że współrzędna x centroidy wynosi zero? Dzieje się tak, ponieważ układ współrzędnych jest umieszczony w środku półkola .
Ashutosh