Najlepsza odpowiedź
A2A.
Wartości tan40 ° nie można znaleźć za pomocą standardowej sumy trygonometrycznej, formuły różnicowe lub podwielokrotne. Jeśli jednak nie przeszkadza Ci rozwiązywanie równań sześciennych, ta metoda może się przydać…
Wiemy,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Podstawiając x jako 40 ° w tym równaniu—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Zapisywanie tan40 ° as y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° jest wartością standardową i jest równe – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Po rozwiązaniu tego równania otrzymujemy trzy wartości, z których dodatnia wartość daje tan 40 °.
Stąd w przybliżeniu, tan 40 ° = 0,8394.
Odpowiedź
Jaka jest wartość \ tan 40 ^ o?
Możemy znaleźć wartość \ tan 40 ^ o do dowolnego pożądanego poziomu dokładności przy użyciu szeregu Taylora \ tan x.
Szereg Taylora funkcji o wartościach rzeczywistych lub zespolonych f (x), która jest nieskończenie różniczkowalna w rzeczywistym lub zespolonym punkcie a jest dana ,
f (x) = f (a) + \ frac {f „(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” „(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f „” „(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Można to zapisać zwięźle jako f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad gdzie f ^ {(n)} (a) oznacza n ^ {th} pochodną f (x) przy x = a.
Można zauważyć, że w przypadku funkcji trygonometrycznych kąt musiałby być wyrażony w radianach, a nie w stopniach.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ right) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Biorąc x = \ frac {2 \ pi} {9} i a = \ frac {\ pi} {4}, mamy (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
W a = \ frac {\ pi} {4}, \ tan x jest nieskończenie różniczkowalna.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f „(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f „\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” „(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „” (a) = f „” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f „” „(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „” „(a) = f” „” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ około 0,83892575.
Wartość \ tan (40 ^ o) jak podano w Excelu to 0,83909963.
Można zauważyć, że nawet przy zaledwie 4 wyrazach tej nieskończonej serii błąd wynosi tylko 0,0272 \\%.
Jeśli większa dokładność jest potrzebujemy, możemy przyjąć dalsze warunki nieskończonej serii.