Jaka będzie reszta, gdy 17 ^ 200 zostanie podzielone przez 18?


Najlepsza odpowiedź

\ mathbf {\ text {Pierwsze rozwiązanie.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ implikuje 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ implikuje 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Drugie rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Eulera.}}

\ text { (17, 18) są stosunkowo pierwsi. Możemy użyć twierdzenia Eulera.}

\ text {Funkcja totientowa Eulera.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ right) \ left (1 – \ dfrac {1} {3} \ right) = 18 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implies (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implies 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implies 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ implies 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ implies 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ Dlatego \, \, \ text {1 to reszta, gdy} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {jest podzielone przez 18}}

Odpowiedź

Chcemy resztę z dzielenia 17 ^ {200} przez 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Reszta z dzielenia 17 ^ {200} przez 18 to 1.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *