Najlepsza odpowiedź
Jak wielu już poprawnie odpowiedziało, cosinus nieskończoności nie ma wartości. Ale jest gorzej. Jest tak źle, jak to tylko możliwe.
Funkcje złożone
Funkcje trygonometryczne, w tym cosinus, są zwykle postrzegane jako funkcje, które przyjmują liczby rzeczywiste jako argumenty, ale można je rozszerzyć na funkcje złożone. Możesz to zrobić dla cosinusa, używając tej definicji szeregu potęgowego
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
To sprawia, że cosinus jest zdefiniowany na całej płaszczyźnie zespolonej \ mathbf C.
Przez rozszerzając funkcje na złożone argumenty, możesz je rozumieć w sposób, w jaki nie możesz, gdy używane są tylko prawdziwe argumenty. Na tym polega siła analizy złożonej.
Rozszerzone liczby zespolone \ overline {\ mathbf C}
Rozważmy znacznie prostsza funkcja f (z) = 1 / z. Jest zdefiniowany dla wszystkich liczb zespolonych z wyjątkiem z = 0. Wydaje się, że ma nieskończoną wartość przy z = 0 i istnieje sposób na sformalizowanie tego pojęcia. Rozszerz liczby zespolone o jeden element, oznaczony \ infty, aby otrzymać coś, co czasami nazywa się zamkniętą płaszczyzną zespoloną lub sferą Riemanna, \ overline {\ mathbf C}. Dzięki temu możesz zdefiniować 1/0 = \ infty i 1 / \ infty = 0, aby ta funkcja f (z) = 1 / z była zdefiniowana we wszystkich \ overline {\ mathbf C}. W rzeczywistości daje to bijection \ overline {\ mathbf C} \ to \ overline {\ mathbf C}.
Co się stanie, gdy spróbujesz tego z funkcją styczną \ tan z? Zdarzają się fajne rzeczy. Podczas gdy dla liczb rzeczywistych \ tan \ pi / 2 nie jest zdefiniowane, dla \ overline {\ mathbf C} jest zdefiniowane, i faktycznie \ tan \ pi / 2 = \ infty. Osobliwość dla \ tan z przy z = \ pi / 2 jest podobna do osobliwości dla 1 / z przy z = 0.
Te dwie funkcje, 1 / z i \ tan z, mają bieguny , czyli przyjmują wartość \ infty. Funkcja 1 / z ma jeden biegun przy z = 0. Funkcja \ tan z ma nieskończenie wiele biegunów, po jednym dla każdej wartości z równej \ pi / 2 plus całkowita wielokrotność \ pi.
Cosinus of \ infty
Czas wrócić do \ cos \ infty.
Rozważmy funkcję f (z) = \ cos (1 / z). Pytanie o cosinus z \ infty jest tym samym, co zapytanie o f (0), ponieważ w \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. W przeciwieństwie do biegunów funkcji 1 / z i \ tan z wymienionych powyżej, ta funkcja ma tak zwaną istotną osobliwość. Dowolnie blisko z = 0, funkcja f (z) = \ cos (1 / z) nieskończenie wiele razy przyjmuje wszystkie liczby zespolone. Oznacza to, że \ cos z ma istotną osobliwość w punkcie z = \ infty. To jest tak złe, jak tylko może być.
Odpowiedź
To nie jest równe żadnemu. Cos (nieskończoność) jest nieokreślona, ponieważ sinus, cosinus i tangens, a także odwrotność (sieczny, cosecans i cotangens) są wyprowadzane z koła jednostkowego.
cosinus to oś x, a sinus to oś y. Tworzy to trójkąt prostokątny. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany na początku. I w tym trójkącie prostokątnym, który jest „utworzony”, długość nóg jest miejscem ich wyprowadzenia.
W przypadku rzeczy takich jak 390 stopni porusza się więcej niż raz, a kąt jest oceniany tak, jakby był tylko poszedł od 0 stopni do miejsca, w którym się zakończył, czyli mniej niż 360. To jest po prostu moduł.
Wyrażenie, które może to reprezentować to n mod 360 (lub w przypadku informatyki, n\% 360), gdzie n to kąt.
Więc dla nieskończoności mod 360 nie można znaleźć odpowiedzi, ponieważ nieskończoność stale rośnie. więc technicznie może to być wszystko. Nieskończoność to nie liczba, to koncepcja. Pojęcie, że nie ma końca. Zatem używanie nieskończoności jako liczby oznacza po prostu posiadanie wartości będącej w pewnym sensie zawsze rosnącą. To trochę upraszcza sprawę, ponieważ tak naprawdę nie rośnie, bardziej przypomina założenie, że jest koniec, kiedy go nie ma, lista liczb nie ma końca. Jego wartość jest nieograniczona. Dlatego używamy granic, gdy mamy do czynienia z nieskończonością. Chociaż nieskończoność jako liczba w zasadzie używa granic, nie możemy powiedzieć, że 1 / nieskończoność to zero, ponieważ nieskończoność tylko stale rośnie, nie pyta, do czego się zbliża. Chociaż zbliża się do zera, nigdy nie będzie wynosić zero. Najbliższe zero kiedykolwiek będzie równe 1 – 0,999…., Które, chociaż mówi się, że 0,999… jest równe 1, tak nie jest. Logicznie rzecz biorąc, tak nie jest i nie może być. Jeśli to zaakceptujemy, możemy równie łatwo powiedzieć, że 1 = 2, a każde n równa się dowolnemu m (n = m).
Wracając do pierwotnego pytania, jeśli spojrzysz na wykres cos (x), zobaczysz, że oscyluje w górę iw dół w sposób ciągły od 1 do -1. Więc gdy zmierza do nieskończoności, nigdy się nie zbiegnie, a cos (nieskończoność) będzie zawsze przełączać się między 1 a -1. Wybór jakiejkolwiek wartości pomiędzy nimi nie będzie nieskończonością, ponieważ zawsze rośnie.
Podsumowując, cos (nieskończoność) jest nieokreślone.