Najlepsza odpowiedź
Załóżmy, że istnieje okrąg z pięć równoodległych punktów A, B, C, D i E na jego obwodzie tak, że łuk ABCDEA zamyka okrąg.
Zatem jest pięć równych łuków (AB, BC, CD, DE i EA), każdy pod kątem {(360⁰) / 5) = 72⁰ w środku.
Otóż, kąt „gwiazdy” w wierzchołku A to nic innego jak kąt wyznaczony przez łuk CD w punkcie A; czyli {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Zatem suma pięciu kątów „gwiazdowych” na pięciu wierzchołkach = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Odpowiedź
Ten problem zależy od tego, jak zdefiniujesz „gwiazdę”. W każdym razie zacznijmy od prostych przypadków, wtedy ogólny wzór powinien się pokazać.
Jeśli są 3 punkty, możemy mieć tylko trójkąt równoboczny, więc kąt wynosi 60 stopni. (Uwzględniam to też jako gwiazda, zdefiniuj moją gwiazdę później).
Jeśli mamy 4 punkty, możemy mieć tylko kwadrat, więc kąt wynosi 90 stopni.
Jeśli jest 5 punktów , możemy mieć pięciokąt, gdzie kąt wynosi 108 stopni, lub możemy mieć w pytaniu „gwiazdę”, gdzie kąt wynosi 36 stopni.
Ogólnie dla n punktów możemy podzielić okręg na n równych odcinków łuku. W przypadku 3 i 4 punktów jedynym sposobem na narysowanie „idealnie symetrycznej zamkniętej pętli” (definicja gwiazdy) jest połączenie punktów z ich sąsiednimi punktami, w takim przypadku powiedzmy ich kroki (liczba przecinających się odcinków łuku na odcinku linii) k wynosi 1. Dwie ciągłe linie utworzą kąt, więc wzór tego typu „gwiazdy” (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, itd.) wynosi 180 * (n-2 * 1) / n stopni.
W 3, 4 punkty ok se, nie ma innego rozwiązania niż krok 1. W przypadku 5-punktowym, poza krokiem 1, krok 2 utworzy gwiazdę 36 stopni. Więc kiedy krok k jest względną pierwszą względem punktów n, możemy otrzymać wzór na kąt
180 * (n-2 * k) / n stopni.
Więc w 6 punktach jedynym rozwiązaniem jest k = 1, więc kąt wynosi 120 stopni.
W przypadku 7-punktowym k może wynosić 1, 2 lub 3, gdy k = 1 kąt wynosi 900/7 stopni; gdy k = 2 kąt wynosi 540/7 stopni; gdy k = 3 kąt wynosi 180/7 stopni.
W przypadku 8-punktowym k może wynosić 1 lub 3, gdy k = 1, kąt wynosi 135 stopni; gdy k = 3, kąt wynosi 45 stopni.