Jaka jest suma pierwiastków kwadratowych z pierwszej liczby naturalnej n?

Najlepsza odpowiedź

Myślę, że wartość tej sumy (oznaczonej przez) \; \; S \; \; jest w przybliżeniu \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Można to uzasadnić w następujący sposób:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; daje pole pod krzywą \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; Oś X i współrzędne w \; \; x \; = \; 1 \; \; i \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

Wymagana suma \; \; S (n) \; \; może być interpretowana jako pole \; \; n \; \; prostokątne pionowe pręty o szerokości \; \; 1 \; \; wysokości \; \; \ sqrt {j} \; \; wzniesione na osi \; \; X – \; \; gdzie \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (pionowe boki prostokąta \; \; j ^ {th} \; \; są częściami rzędnych w \; \; x = j \; \; i \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Aby uzyskać dobre przybliżenie, musimy odjąć składnik błędu \; \; E (n) \; = \; obszar między krzywą a prostokątnymi słupkami z (1).

Zauważ, że \; \; E (n) \; \ ok \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ duży) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Po uproszczeniu otrzymujemy \; \; S (n) \; \ około \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;