Jaka jest suma pierwszych 100 liczb parzystych?


Najlepsza odpowiedź

Suma pierwszych 100 liczb parzystych jest tym samym, co podwojona suma pierwszych 100 kolejnych liczb. Na przykład najpierw wypróbuj mniejszą skalę. Zamiast tego znajdź sumę pierwszych 5 liczb parzystych. A więc:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 30

Zacznij odejmować wyrażenia od każdego z nich.

4 + 6 + 8 + 10 = 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5

6 + 8 + 10 = 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5

8+ 10 = 4 + 4 + 5 + 5

10 = 5 + 5

To sprawia, że rzeczy znacznie łatwiejsze. Kontynuując obliczanie sumy pierwszych 5 kolejnych liczb, rozważ dodanie ich w ten sposób:

1 + 5 = 6

2 + 4 = 6

3 + 3 = 6

4 + 2 = 6

5 + 1 = 6

Więc masz tutaj 5 sum po 6. Masz również zduplikowane sumy, a jeśli po prostu chciałeś sumę pierwszych 5 kolejnych liczb, wszystko, co musisz zrobić, to podzielić je na pół. Skończysz 5 sum po 3 po podzieleniu ich na pół, lub 15.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Jak wcześniej wykazano, suma pierwszych n parzyste liczby to podwójna suma pierwszych n kolejnych numerów, więc nie dzielenie na połowę przyniesie pożądany rezultat.

Można to jeszcze bardziej uprościć. Prosty wzór na obliczenie sumy pierwszych n kolejnych liczb to:

n (n + 1) / 2

Więc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 przy użyciu tego wzoru wyglądałoby tak:

5 (6) / 2 = 15

Oczywiście, aby znaleźć sumę pierwszych 5 parzystych liczb, to prawie ta sama formuła.

n(n+1)

5 × 6 = 30

Aby otrzymać wynik na swoje pytanie, możesz użyć tej samej formuły.

100 × 101 = 10100

Zatem suma pierwszych 100 parzystych liczb to 10100.

Odpowiedź

Spójrzmy na 0 do 10

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

teraz przyjrzyjmy się 0 do 20, a następne w fragmentach po 20 liczb.

2 + 4 + 6 + 8 +10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110

22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 = 310

42 + 44 + 46 + 48 + 50 + 52 + 54 + 56 + 58 + 60 = 510

Jak widać, sumaryczny wzrost o 200 każdego czas

2–20 110 łącznie 110

22–40 310 łącznie 420

42-60 510 łącznie 930

62-80 710 łącznie 1640

82-100 910 łącznie 2550

102-120 1110 łącznie 3660

122-140 1310 łącznie 4970

142 – 160 1510 łącznie 6480

162-180 1710 łącznie 8190

182-200 1910 łącznie 10100

Każda liczba w kolumnie zbiorczej rośnie

Niech n będzie każdym krokiem w dwudziestce

Teraz zbadajmy skumulowane sumy.

n = 1 górna liczba zakresu = 20 Suma = 110

n = górna liczba w 2 zakresie = 40 Suma = 420

n = Górna liczba w 3 zakresie = 60 Suma = 930

Od kontrola nx 20 to górna liczba zakresu, a wartości = połowa zakresu górny kwadrat + połowa górnego zakresu np.

10 do kwadratu +10 = 110

100 do kwadratu +100 = 10100

Więc dochodzimy do

Łączna suma = (10 xn) do kwadratu + 10 xn dla n = 10

n = 1 skumulowana suma = 110

n = 10 skumulowana suma = 10100

Uzyskano to bez wcześniejszej znajomości równań dla sum serii z pierwszych zasad.

Ostatecznie odpowiedzią są liczby wymagane w pytaniu 100 do kwadratu +100 = 10100

A co z liczbami nieparzystymi będzie działać to równanie?

Spójrzmy na 1–9, w sumie 25 – połowa 9 to 4,5. Czyli 4,5 do kwadratu + 4,5 = 24,75, czyli jest za niskie 0,25.

Okazuje się, że we wszystkich zakresach jest zawsze 0,25 za mało.

Zatem dla liczb nieparzystych równanie wygląda następująco:

Suma kumulacyjna = połowa liczby końcowej do kwadratu + połowa liczby końcowej + 0,25

Zobaczmy teraz, dlaczego równanie działa.

Spójrzmy ponownie na 0 do 10. Suma równa się n do kwadratu + n = n (1 + n), gdzie n jest w tym przypadku wartością środkową 5.

Więc to jest 6 x 5 = 30.Więc suma = średnia x następna najwyższa wartość.

Więc od 0 do 500 daje sumę 250 x 251 = 62750 liczb parzystych i 62750,25 dla liczb nieparzystych

Michał

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *