Najlepsza odpowiedź
Na to pytanie możemy znaleźć 2 odpowiedzi.
- -1/12
- Nieskończoność
Oczywiście \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n różni się. Ale dlaczego niektórzy ludzie odpowiadają -1/12? Ponieważ oba są poprawne.
Jest to jeden z najprostszych przykładów koncepcji kluczowej dla zrozumienia teorii fizycznych, regularyzacji. Liczba -1/12, pozornie absurdalna, ma fizyczną interpretację w tak zwanej energii Casimira.
Często, gdy próbujemy obliczyć wielkości fizyczne w teoriach kwantowych, otrzymujemy nieskończoność. W tym momencie możemy po prostu odrzucić odpowiedź, ale to prowadzi nas donikąd. Alternatywnie możemy spróbować nadać temu sens. Aby to zrobić, próbujemy wydobyć skończoną odpowiedź z nieskończoności. Ten proces nazywa się regularyzacją. Może istnieć wiele sposobów systematycznego regulowania szeregu rozbieżnego (lub całki), ale ważne jest, aby wszystkie te metody dawały ten sam skończony wynik. W szczególności powyższa suma zawsze dawałaby nam -1/12. To samo w sobie sugeruje, że -1/12 nie jest całkowicie absurdalne.
Poniższa dyskusja pochodzi głównie z sekcji 4.1 książki Birrel i Davies – Quantum Fields in Curved Space. Przedstawię sedno dyskusji.
Załóżmy, że rozważymy bezmasowe pole skalarne w 2 wymiarach (jeden kierunek czasu i jedna przestrzeń). Bezmasowe pole skalarne jest bardzo podobne do pola elektromagnetycznego, ale znacznie prostsze. Ograniczmy również pole skalarne na okręgu o obwodzie L. Teraz mamy zdefiniowany układ kwantowy i możemy spróbować obliczyć różne wielkości, w tym minimalną / podstawową energię tego układu. Okazuje się, że energia stanu podstawowego wynosi E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Teraz możemy uregulować tę całkę i otrzymać E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Ważną kwestią jest to, że dokładnie to otrzymamy, jeśli spróbujemy obliczyć różnicę między energią stanu podstawowego tego układu a innym podobnym układem, w którym pole skalarne jest ograniczone do linii o nieskończonej długości (która zasadniczo przyjmuje obwód krąg jest nieskończony). Oczywiście ta uregulowana energia jest wielkością fizyczną i faktycznie może być zmierzona w laboratorium.
Dochodzimy do wniosku, że stwierdzenie \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 nie jest nieważne.
Edytuj:
Oto jeden ze sposobów uregulowania sumy.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Powyższy limit różni się, zgodnie z oczekiwaniami , ale można zapisać następująco
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
W ten sposób pobieramy uregulowaną skończoną część z rozbieżnego sumowania. Sposób uregulowania sumy nie jest bynajmniej wyjątkowy, ale skończona część sumy to zawsze -1/12.
Odpowiedź
Co rozumiemy przez „jest” lub „równość”? To jest pytanie, które leży u podstaw nieporozumień dotyczących sum wszystkich liczb naturalnych.
Sumy skończone
Nie „Nie mam problemu z sumami skończonymi:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
jest doskonale zdefiniowany dla dowolnej sekwencji a\_i \ in \ mathbb R. Dzięki przemienności i asocjacyjności dodawania nie zależy nawet od kolejność a\_i: możesz tasować sekwencję w dowolnej permutacji bez wpływu na wynik.
Nieskończone serie
Kiedy dochodzimy do nieskończonych ciągów, (a\_i), co jednak oznacza nieskończona suma? Co to jest ?
Najprostszy, najbezpieczniejszy i domyślny znaczenie to limit sum skończonych. To jest definicja nieskończonej sumy:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Kiedy ta seria zbiega się absolutnie , wszystko jest w porządku i eleganckie. Możesz:
- polegać na wyniku;
- potasować kolejność terminów;
- dodać lub odjąć dwie takie serie; a nawet
- zmień kolejność dwóch zagnieżdżonych sumowań.
Ale jeśli seria jest rozbieżna lub tylko warunkowo zbieżne wartość:
- może nie istnieć;
- może zależeć od kolejności; lub
- może wymagać „wymyślnych metod” do zdefiniowania
i nie możesz ani manipulować terminami sekwencja ani nie dodaje / odejmuje dwóch takich sekwencji.
Tak jest w przypadku sumy liczb naturalnych, gdzie
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
To wyraźnie różni się od + \ infty jako n \ do \ infty, więc standardowa wartość domyślna nie istnieje. I to jest tak daleko, jak większość ludzi powinna iść.
Fantazyjne metody
Jeśli nie wykonasz w pełni, nawet dokładnie, zrozum dokładnie znaczenie wszystkiego, co powyżej, z pewnością nie należy przechodzić do „wymyślnych metod”. Tak samo należy traktować każdego, kto manipuluje sekwencjami niezupełnie zbieżnymi, jakby dzieliły je przez zero: wyniki są równie wiarygodne.
Istnieje doskonale szanowany nieskończony szereg zwany Seria Dirichleta :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Jeśli (a\_n) są ograniczone, ten ciąg jest zbieżny absolutnie dla każdego s \ in \ mathbb C, którego część rzeczywista jest większa niż jeden, \ Re (s)> 1. Dla \ Re (s) \ leq1 jesteśmy na mniej solidnym gruncie…
Kontynuacja analityczna
Ponieważ f ( s) to funkcja analityczna zdefiniowana na otwartej półpłaszczyźnie za pomocą \ Re (s)> 1, ma ona zasadniczo unikalną analityczna kontynuacja do reszty płaszczyzny Complex. Kontynuacja, gdy wszystkie a\_n są jednym, f\_1 (s), to Funkcja Zeta Riemanna :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
gdzie \ Displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x to funkcja Gamma , analityczne rozszerzenie funkcji Silnia.
Dla \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb nie jest zbieżny
Jeśli chcesz teraz zrobić coś, co nazywa się uregulowaniem funkcji zeta , mógłby twierdzić
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
ale pamiętaj, że zastanawiasz się, co oznacza „równość” i czym „jest podsumowanie”.
Wszystko w porządku, ale jeśli zaszedłeś tak daleko, zauważyłeś, jak bardzo musisz wiedzieć, jak rozumieć, co robisz. O wiele więcej niż zwykle w filmie Numberphile…