Najlepsza odpowiedź
„Suma wszystkich liczb rzeczywistych” nie jest zdefiniowana w konwencjonalnej matematyce i nie jestem pewien że można go zdefiniować bez powodowania poważnych problemów.
Pierwszym problemem jest to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest zbiorem niepoliczalnym, tj. nie można go umieścić w relacji jeden do jednego z liczeniem liczby (tj. 1, 2, 3, 4 itd.) Nie ma konwencjonalnej definicji sumy elementów zbioru niepoliczalnego, ale istnieje suma elementów niektórych policzalnych zbiorów.
Załóżmy, że masz policzalny zbiór {x1, x2, x3,…. xn,…}. Możesz zdefiniować sumę częściową Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, czyli sumę pierwszych n wyrazów. Aby upewnić się, że nic nie pójdzie źle, jeśli zmienisz kolejność zestawu, możesz zdefiniować dodatnią sumę częściową Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Jeśli istnieje granica (ponieważ n dąży do nieskończoności) szeregu Pn, to istnieje również granica szeregu Sn (ale nie jest taka sama jak granica Pn, chyba że wszystkie z xn są nieujemne). Oznacza to, że możesz powiedzieć, że suma wszystkich liczb w naszym policzalnym zbiorze jest granicą serii Sn.
Zatem jeśli zbiór wynosi {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, masz ładnie zbieżny szereg, a suma elementów zbioru wynosi 1. Jednakże, jeśli masz wszystkie liczby całkowite (dodatnie i ujemne), masz policzalny zbiór {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, ale sumy częściowe nie są zbieżne – są to 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Ten brak zbieżności liczb całkowitych występuje pomimo faktu, że każda dodatnia liczba całkowita n ma odpowiadającą jej liczbę całkowitą ujemną, więc można by pomyśleć, że się znoszą. Jednak nie anulują się przy każdej alternatywnej sumie częściowej i nie anulują się, jeśli wziąłeś zestaw w innej kolejności, np. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Liczby rzeczywiste są gorsze, ponieważ nie ma definicji sumy zbioru, biorąc pod uwagę, że jest to niepoliczalne, a nawet gdyby istniał, zmiana kolejności, w jakiej je wziąłeś, dałaby inny wynik, nawet jeśli dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej jest odpowiadająca ujemna liczba rzeczywista.
Odpowiedź
Rozwiążmy to za pomocą teorii grup.
Niech G (\ mathbb {R}, +) będzie a .
Ma tożsamość addytywną , tj. 0 i addytywnie odwrotne \ forall a \ in G, to -a.
Teraz dodając wszystkie elementy tej grupy, mamy par liczby i jest to odwrotne wzajemnie się anulujące.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, możemy to napisać z powodu przemiennej i asocjacyjnej własności tego grupa specjalna.
Podzieliliśmy zbiór \ mathbb {R} na \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} i element tożsamości.
Zapiszmy powyższe wyrażenie jako
= X + Y + 0
Jako 0 to tożsamość, więc
powyższe wyrażenie daje
= X + Y
Teraz \ dla wszystkich a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implikuje X = Y ^ {- 1}
\ zakłada Y = -X
\ zakłada X + Y = element tożsamości G = 0
Stąd suma wszystkich liczb rzeczywistych wynosi zero.