Najlepsza odpowiedź
T\_n (x), n-ty wielomian Czebyszewa pierwszego rodzaju, spełnia
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Jesteśmy po T\_ {10} (x). Znamy kilka pierwszych:
T\_0 (x) = 1 \ quad, ponieważ \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad ponieważ \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad, ponieważ \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad, ponieważ \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Możemy łatwo obliczyć potęgę dwóch,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2-1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Ogólnie T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)), co dość szybko wynika z \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) spełnia powtarzalność
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Ponieważ T\_0 (x) i T\_1 (x) mają współczynniki całkowite, rekurencja mówi nam, że wszystkie T\_n (x) mają współczynniki całkowite.
Wyprowadźmy powtarzanie . Zaczynamy od udowodnienia tożsamości trygonometrycznej, alternatywnego wzoru na sumę kątów, który używa tylko cosinusa:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Teraz
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
lub pozwalając x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Teraz możemy dość łatwo obliczyć T\_ {10} (x),
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
W końcu otrzymujemy odpowiedź,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Odpowiedź
Niech x = theta ułatwi mi pisanie.
Pamiętaj, że mnożenie jest powtórzeniem d dodawanie.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Jednym ze sposobów na znalezienie cos (10x) jest zastosowanie identyczność dla cosinusa sumy dwóch kątów 9 razy, wraz z podobną tożsamością dla sinusa.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Teraz zamień 9x na 8x + x
, a następnie ostrożnie zastosuj tożsamości ponownie, bez utraty cos (x) i sin (x) już w problemie.
Następnie wszędzie tam, gdzie zobaczysz 8x, zamień je na 7x + x i zastosuj tożsamości ponownie.
Kontynuuj… ..
Możesz podążać w górę zamiast w dół.
Znajdź cos (3x), potem cos (4x) itd.
Podczas pracy zadaj sobie pytanie, czy nie ma szybszego sposobu.
Gdy mamy wzór na
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
możesz pomyśleć
o cos (4x) jako cos (2x + 2x)
i cos (8x) ) jako cos (4x + 4x).
Następnie cos (10x) jako cos (8x) + cos (2x).
Możesz Nie chcę również uprościć wyniku dla cos (2x) i prawdopodobnie użyć tożsamości pitagorejskiej, aby utrzymać problem tylko w kategoriach cosinusa bez żadnych sinusów w wyniku.