Najlepsza odpowiedź
Wiem, o co prosisz, ale poznaj konwencje pisania. Powinien być zapisany cos (1/2).
Aby odpowiedzieć na swoje pytanie, będziesz musiał użyć tutaj kalkulatora. W żaden sposób nie mogę tego obliczyć ręcznie. Inną rzeczą jest wartość w radianach lub stopniach. Podam tutaj oba. Jest to 0,99996 stopni i 0,8775 w radianach.
Odpowiedź
Sporo osób denerwuje się, gdy ktoś twierdzi, że 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Nie jestem jedną z tych osób, ale tak myślę, że jeśli zaczniesz składać takie roszczenia, powinieneś mieć w głowie bardzo jasne, co to jest co masz na myśli.
Zazwyczaj, kiedy definiujesz nieskończoną sumę elementów a\_n, definiujesz ją jako:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Jeśli limit istnieje i ma skończoną wartość, mówimy, że nieskończona suma zbieżne i mówimy, że jest równe wspomnianemu limitowi. Na przykład:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Istnieje jednak wiele nieskończonych sum, które różnią się i zazwyczaj nie przypisujemy im wartości. Przykład tego:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {nie istnieje.}
Można również sprawdź, czy:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
co nie jest zbieżne — tak więc seria 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots jest rozbieżne, więc zwykła definicja limitu nie przypisuje mu wartości.
Jednak są sposobami może rozszerzyć tę definicję. Oznacza to, że możesz wymyślić sposoby przypisania skończonej wartości szeregom rozbieżnym, które nadal są zgodne z wartościami, które otrzymujemy w zwykły sposób dla szeregów zbieżnych.
Problem polega na tym, że ponieważ te metody, przez z samej swej natury nie odpowiadają tak naprawdę nic fizycznemu *, więc najlepsze, na co możemy mieć nadzieję, to to, że takie metody mają ładne właściwości formalne. W szczególności chcielibyśmy poprosić, aby spełniały następujące aksjomaty:
1.) (Regularność) Jeśli \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n jest zbieżna, to metoda sumowania jest zgodna z zwykła metoda przyjmowania limitu.
2.) (Liniowość) Jeśli \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A i \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B są sumowane , to mamy \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilność) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Te aksjomaty są całkiem przydatne. Na przykład, pokazujesz, że każda metoda sumowania, która spełnia te trzy aksjomaty, musi oszacować 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, ponieważ:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Zauważ, że zarówno liniowość, jak i stabilność odgrywają ważną rolę w tym dowodzie. Stabilność pozwala nam „wyciągnąć” 1 z przodu, a liniowość pozwala rozliczyć 2.
Każda taka metoda sumowania musi również uwzględniać 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Dowód jest podobny:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Jednak będą rozbieżne szeregi, których nie można ocenić żadną metodą sumowania, która spełnia te trzy aksjomaty. Na przykład załóżmy, że możemy przypisać skończoną wartość s do serii 1 + 1 + 1 + \ ldots. Wtedy mielibyśmy:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Ups. Niestety jest jeszcze gorzej, ponieważ z tego wynika, że żadna metoda sumowania, która spełnia te trzy aksjomaty, również nie może ocenić 1 + 2 + 3 + \ ldots, ponieważ:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (przez stabilność) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (przez liniowość)
Tak więc, jeśli chcesz zdefiniować metodę sumowania, która ocenia 1 + 2 + 3 + \ ldots, musisz albo wyrzucić liniowość, albo stabilność. Istnieją różne podejścia – niektórzy poświęcają jedno, inni poświęcają drugie.
To niestety pokazuje, jak przebiega sumowanie rozbieżnych szeregów: istnieje wiele różnych metod ich sumowania, a one nie zawsze się zgadzam. Często zgadzają się co do ważnych serii, ale jeśli twierdzisz, że jest to 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, to lepiej dokładnie wyjaśnij, jakiej metody sumowania używasz.
Jako teoretyk liczb, moim ulubionym podejściem jest regularyzacja funkcji zeta. Podstawowy przykład jest następujący: rozważ funkcję zeta Riemanna \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Ta formuła jest zbieżne tylko wtedy, gdy część rzeczywista s jest większa niż 1.Istnieje jednak standardowy sposób rozszerzenia funkcji zeta Riemanna tak, aby była funkcją na całej złożonej płaszczyźnie (cóż, masz kilka biegunów, ale chociaż jest to ważne, jest to kwestia techniczna) – nazywa się to analitycznym kontynuacja, którą uzyskujesz wprost, znajdując równanie funkcjonalne funkcji zeta.
Korzystając z kontynuacji analitycznej, stwierdzasz, że \ zeta (-1) = -1/12. Ale jeśli „podłączysz to” do oryginalnego wyrażenia funkcji zeta, otrzymasz:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Oto jak działa regularyzacja funkcji zeta: przypisujesz funkcję zeta do swojego szeregu , a następnie użyj analitycznej kontynuacji, aby powiązać skończoną wartość z serią.
Jest to pod wieloma względami formalna gra, o której, choć interesującej, prawdopodobnie nie należy myśleć jako odpowiadającej czymś namacalnym.
* Tak, zdaję sobie sprawę, że rozbieżne szeregi i całki są wykorzystywane w obliczeniach w kwantowej teorii pola. Jednak twierdziłbym, że takie metody są narzędziem obliczeniowym , bardziej niż fizyczną interpretacją tego, co się faktycznie dzieje. Poza tym nie mamy w tej chwili matematycznie rygorystycznego modelu kwantowej teorii pola, więc każda dziwna chimera, której nie powinno się jeszcze zinterpretować, może zostać ponownie zinterpretowana lub całkowicie usunięta.