Najlepsza odpowiedź
Wartość Cos2theta to
To znaczy cox2x = cos (x + x)
Wzór na cos (a + b) to cosa.cosb-sina.sinb
Tutaj a = x &, b = x
Następnie wstaw wartość s a i b
Mamy
Cos2x = cosx.cosx- sinx.sinx.
Cos2x = cos²x- sin²x.
Tutaj wiemy, że sin²x = 1- cos²x, a następnie wstawiamy
Cos2x = cos²x- (1- cos²x) mamy,
= cos²x- 1+ cos²x
Cos2x = 2cos²x- 1 to jest inna wartość dla kąta podwójnego Cos.
Cos2x + 1 = 2cos²x to także wartość dla cos
± poniżej cos2x + 1/2 = cos²x
Odpowiedz
„Co to jest x kiedy 2 \ sin (x) = \ cos (x) ? ”
Mamy co następuje:
2 \ sin (x) = \ cos (x)
Odejmij obie strony przez \ cos (x), teraz mamy:
2 \ sin (x) – \ cos (x) = 0
Teraz nie chcemy żadnych brakujących pierwiastków, więc zauważamy, że możemy rozliczyć a \ cos (x) na zewnątrz. W rezultacie otrzymamy:
\ cos (x) \ left (2 \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} – 1 \ right) = \ cos (x) (2 \ tan (x) – 1) = 0
I przez właściwość zero-produkt ( znaną również jako zerowe prawo czynnikowe ), iloczyn dwóch niezerowych elementów musi dawać niezerowy iloczyn, tj. Jeśli mamy ab = 0, to albo a = 0 albo b = 0 .
Zatem z powyższego, albo \ cos (x) = 0, albo 2 \ tan (x) – 1 = 0. Moglibyśmy więc mieć dwa warunki. Ale zobaczmy, czy jedno narusza drugie. Najpierw znajdźmy \ cos (x) = 0. Cóż, to jest proste.
\ cos (x) = 0 \ iff x = \ arccos (0) = \ dfrac {\ pi} {2} + \ pi k, k \ in \ Z.
Ale czekaj, weszliśmy za szybko. Zauważ, że \ tan (x) = \ sin (x) / \ cos (x) nie może mieć \ cos (x) = 0 na pierwszym miejscu, ponieważ spowodowałoby to dzielenie przez 0, co dałoby wynik niezdefiniowane . Dlatego wynik x = \ pi / 2 + \ pi k naruszy powyższe równanie, ponieważ w drugim członie mamy \ tan (x), więc możemy to zignorować. Rozwiążmy ten drugi człon.
2 \ tan (x) – 1 = 0
\ tan (x) = \ dfrac {1} {2}
Biorąc odwrotną styczną obu stron równania:
x = \ arctan (1/2)
I wiemy, że funkcja \ tan (x) jest okresowa z okresem z \ pi. Wtedy ten wynik byłby ważny dla wszystkich x = \ arctan (1/2) + n \ pi, n \ in \ Z.
I gotowe.
Uwaga: I wiemy, że możemy po prostu podzielić obie strony przez \ cos (x) i natychmiast otrzymać 2 \ tan (x) = 1. Ale jest to główny powszechny błąd, który popełnia większość ludzi. W przypadku tego konkretnego pytania na pewno możesz to zrobić bez utraty niektórych korzeni (lub zer, w zależności od tego, jak je nazwiesz ), ponieważ tak się składa, że rozwiązanie \ cos (x) = 0 jest nieprawidłowe. Ale w przypadku niektórych, bardziej zawiłych pytań, możesz mieć kłopoty, robiąc po prostu ten szybki podział. Musisz potwierdzić wszystkie pierwiastki , które mogą, ale nie muszą istnieć w równaniu, aby uzyskać właściwe rozwiązanie. Pamiętaj o tym.