Najlepsza odpowiedź
Pytanie, które zadajesz, nie ma sensu. Zakładam, że cos (20 °).
Wiemy, co to jest cos (60 °), a dobrze jest to 60 ° = 3 * 20 °.
Znamy cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Umieść θ = 20 °, w powyższej tożsamości i zakładając t = cos (20 °) otrzymaliśmy
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Niech p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1, ip (1) = 1, oznacza to, że p ma trzy prawdziwe pierwiastki z których tylko jeden jest dodatni (który mieści się między 0 a 1).
Jak wiemy, cos (20 °) jest liczbą dodatnią, to dodatni pierwiastek powyższego wielomianu to wartość cos (20 °).
Pewne oszacowanie przy użyciu metody bisekcji z 2–3 iteracjami da 0,94.
Więc cos (20 °) = 0,94 (w przybliżeniu)
Odpowiedź
Powinieneś być w stanie go znaleźć, używając tożsamości trygonometrycznej: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Zakładam, że wywodzi się to z tożsamości: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), ale użyte dwukrotnie. Szczerze mówiąc, właśnie to sprawdziłem. )
Skoro już to wiemy, zróbmy x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Następnie dokonaj dwóch podstawień. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} i y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
A potem z pewną manipulacją:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Pozostaje tylko rozwiązać y. Ręczne rozwiązywanie sześciennych jest uciążliwe , ale wskażę ci tutaj: Jak mogę rozwiązać równanie trzeciego stopnia? Potem pomacham trochę rękami i rozwiążę to tutaj: Computational Knowledge Engine
Otrzymasz 3 rozwiązania. Jeden minus (nieprawidłowy), pozostałe dwa to w przybliżeniu 0,34 i 0,64.
Który to jest? sin (30) = 0,5, a ponieważ wiemy, że funkcja sinus rośnie do 90 stopni, rozwiązanie wynosi około 0,34.
Więc jakie jest dokładne rozwiązanie? Według Wolframa Alpha:
Powinno to dać prawdziwą liczbę, ale nie zamierzam upraszczać tego bałaganu .
Wystarczy powiedzieć, że można to zrobić, ale nie jest to zaskakujące, że jest to ogromny ból głowy.