Jaka jest wartość cos (90)?


Najlepsza odpowiedź

Na okręgu jednostkowym współrzędna x to cos (x).

Przyjmij granicę, gdy x zbliża się do 90 stopni. Widzisz, że współrzędna x zbliża się do 0, ponieważ promień zbliża się do prostopadłej (więc nie ma komponentu x)

Weź lewą granicę i jest tak samo.

Trójkąt oczywiście się łamie.

Oto obraz pomocy:

Jak widać, szara linia (cosx) staje się coraz mniejsza.

To wszystko. Cos (90) równa się 0. To jest 90 to stopnie, a nie radiany.

Jeśli w radianach, to jest to coś w rodzaju −0,448073616129.

Odpowiedź

Pozwól, że podam bardziej złożone odpowiedź.

Niech \ frac {A} {2} = x.

A więc A = 2x

Mamy,

\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)

Weźmy wzór Eulersa,

e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)

Jeśli pamiętamy tę formułę, możemy to zrozumieć,

\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}

e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)

e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), ponieważ tylko \ sin jest funkcją nieparzystą, f (-x) = – f ( x), a \ cos jest parzyste, f (-x) = f (x)

e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)

= 2 \ cos (\ theta)

\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)

Tak więc otrzymujemy wzór.

Również dla \ sin,

\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}

e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)

-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)

e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))

= 2i \ sin (\ theta)

\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)

Gdzie i jest jednostką urojoną . (i ^ 2 = -1)

Teraz na pamięć wzór na \ cos (2x), (przez wtyczkę x na 2x)

\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}

Zacznijmy wyprowadzać nasz wzór.

Zaczynając od \ cos ^ 2 (x),

\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}

Rozwijając, otrzymujemy,

\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}

Teraz {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ times a ^ c = a ^ {b + c},

(A więc, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}

Teraz obliczmy \ sin ^ 2 (x)

\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}

Jeśli odejmiemy \ sin ^ 2 (\ theta) od \ cos ^ 2 (\ theta), otrzymamy,

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}

Anulujemy minusy w mianowniku \ sin ^ 2 (\ theta),

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}

Podsumowując, możemy anulować -2 + 2 do 0, po czym otrzymujemy,

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}

\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}

\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}

, czyli taki sam wzór na \ cos (2x), jak omówiliśmy wcześniej. Stąd udowodniono.

Ale mamy jeszcze coś do zrobienia. Wtyczka, 2x = A,

\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}

czyli taka sama formuła na cos (A)

A więc \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)

Dzięki za A2A

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *