Najlepsza odpowiedź
Na okręgu jednostkowym współrzędna x to cos (x).
Przyjmij granicę, gdy x zbliża się do 90 stopni. Widzisz, że współrzędna x zbliża się do 0, ponieważ promień zbliża się do prostopadłej (więc nie ma komponentu x)
Weź lewą granicę i jest tak samo.
Trójkąt oczywiście się łamie.
Oto obraz pomocy:
Jak widać, szara linia (cosx) staje się coraz mniejsza.
To wszystko. Cos (90) równa się 0. To jest 90 to stopnie, a nie radiany.
Jeśli w radianach, to jest to coś w rodzaju −0,448073616129.
Odpowiedź
Pozwól, że podam bardziej złożone odpowiedź.
Niech \ frac {A} {2} = x.
A więc A = 2x
Mamy,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Weźmy wzór Eulersa,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Jeśli pamiętamy tę formułę, możemy to zrozumieć,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), ponieważ tylko \ sin jest funkcją nieparzystą, f (-x) = – f ( x), a \ cos jest parzyste, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Tak więc otrzymujemy wzór.
Również dla \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Gdzie i jest jednostką urojoną . (i ^ 2 = -1)
Teraz na pamięć wzór na \ cos (2x), (przez wtyczkę x na 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Zacznijmy wyprowadzać nasz wzór.
Zaczynając od \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Rozwijając, otrzymujemy,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Teraz {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ times a ^ c = a ^ {b + c},
(A więc, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Teraz obliczmy \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Jeśli odejmiemy \ sin ^ 2 (\ theta) od \ cos ^ 2 (\ theta), otrzymamy,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Anulujemy minusy w mianowniku \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Podsumowując, możemy anulować -2 + 2 do 0, po czym otrzymujemy,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
, czyli taki sam wzór na \ cos (2x), jak omówiliśmy wcześniej. Stąd udowodniono.
Ale mamy jeszcze coś do zrobienia. Wtyczka, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
czyli taka sama formuła na cos (A)
A więc \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Dzięki za A2A