Najlepsza odpowiedź
cot θ = 1 / tan θ
cot (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; niezdefiniowane
W matematyce dowolna liczba podzielona przez zero jest niezdefiniowana.
Odpowiedź
Pytania matematyczne stają się o wiele łatwiejsze, gdy znasz definicję danych terminów . Jak definiuje się \ cot (x)? Kiedy już to wiemy, powinniśmy być w stanie szybko uzyskać odpowiedź. Możesz być zaskoczony, gdy dowiesz się, że matematycy (starając się, aby terminy były jak najbardziej ogólne) nie definiują tej funkcji geometrycznie ani nie definiują jej w kategoriach innych funkcji „trygonometrycznych”. W rzeczywistości definiują to jako To używając reprezentacji szeregowej.
Lub, mówiąc dokładniej, definiują to używając tej serii dla 0 x pi. Dla x = 0, \ pi (i dowolnej innej całkowitej wielokrotności \ pi) funkcja nie jest zdefiniowana. Następnie rozszerzają definicję dla wszystkich niecałkowitych wielokrotności \ pi, zauważając, że funkcja jest okresowa z okresem \ pi. Innymi słowy, \ forall x \ ne n \ pi (dla każdego n \ in \ mathbb Z), mówimy, że \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). To pozwala nam ocenić funkcję dla dowolnego innego x w domenie. Na przykład:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
A ponieważ 0 000-318 \ pi pi, możemy użyć naszej reprezentacji szeregowej do oszacowania \ cot (1000-318 \ pi), a tym samym poznać wartość \ cot (1000).
Teraz, gdy rozumiemy definicję funkcji, uczymy się dwóch rzeczy. Po pierwsze, wiemy, że JEŻELI istnieje rozwiązanie, musi być nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dla każdego znalezionego rozwiązania musi być prawdą, że n \ pi więcej niż to rozwiązanie jest również rozwiązaniem dla dowolnego n \ in \ mathbb Z. Po drugie , wiemy, że znalezienie rozwiązania oznacza znalezienie wartości x, dla której nieskończony szereg wynosi zero. Wydaje się, że jest to trudne zadanie.
Na szczęście możemy faktycznie pokazać, że ta reprezentacja serii oznacza, że dla 0 pi, \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Więc jeśli \ cot (x) = 0, musi być również prawdą, że \ cos (x) = 0. To nie jest wielka wygrana, ponieważ funkcja cosinus jest również zdefiniowana w kategoriach nieskończonej serii, ale jest to znacznie łatwiejsza seria. I jest to funkcja, którą większość ludzi rozumie na tyle dobrze, aby wiedzieć, że jedyną wartością x między zerem a pi, dla której jest równe zero, jest \ frac \ pi 2. (Udowodnienie, że wynik z serii to trochę pracy, którą wygrałem nie wchodzić.)
Więc dowiadujemy się, że x = \ frac \ pi 2 jest rozwiązaniem i już pokazaliśmy, że każda całkowita wielokrotność \ pi oddalona od tego rozwiązania jest również rozwiązaniem. Zatem zbiór rozwiązań musi wyglądać następująco:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {dla niektórych} n \ in \ mathbb Z \}