Najlepsza odpowiedź
Kuszące jest pisanie
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Wtedy możemy napisać
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
To daje sumę:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Nie podoba mi się to wszystko przez kilka powodów. Najpierw ignoruje pytanie, ile wartości ma \ sqrt {i}.
Zdefiniowaliśmy rodnik zastosowany do liczby rzeczywistej jako wartość główną, więc y = \ sqrt {x} jest funkcją . Główna wartość złożonego pierwiastka kwadratowego jest bardziej złożona (zasada taka jak najmniejszy nieujemny kąt) i nie działa tak dobrze.
Moim zdaniem najlepszą zasadą jest stwierdzenie, że mamy dwa pierwiastki kwadratowe . \ sqrt {i} jest wielowartościowe, tak samo jak i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Drugi problem, jaki mam ze sformułowaniem wykładniczym, to natychmiastowy skok do współrzędnych biegunowych. Automatycznie podążamy krętą drogą obejmującą funkcje transcendentalne i ich odwrotności. Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej tego nie wymaga. Możemy sprawdzić
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
gdzie potrzebujemy niestandardowego \ textrm {sgn} (0) = + 1.
Mamy a = 0, b = 1, więc
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Nie są potrzebne żadne funkcje trygonometryczne. Podobnie a = 0, b = -1 daje
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Suma wydaje się mieć cztery możliwe wartości:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Obliczmy wartości nawiasów.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
więc rzeczywiście mamy cztery wartości, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Możemy to zapisać jako
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad dla liczby całkowitej k
Jest jeszcze jedna kwestia do rozważenia. Czasami, kiedy piszemy wyrażenia, które wydają się być koniugatami, oznacza to, że gdy bierze się pod uwagę wiele wartości, związek sprzężony zostaje zachowany. Jednym z przykładów jest obniżony sześcienny:
x ^ 3 + 3px = 2q ma rozwiązania
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Każdy z tych pierwiastków sześciennych ma trzy wartości liczb zespolonych. Ale sama sześcienna ma tylko trzy rozwiązania. Więc chociaż może nas kusić interpretacja tego wyrażenia jako dziewięciu różnych wartości, wiemy, że mają to być tylko trzy. Dwa pierwiastki sześcienne mają być koniugatami, więc jako takie muszą być sparowane.
W tej interpretacji zawsze dodajemy koniugaty, więc otrzymujemy tylko prawdziwe rozwiązania:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} lub (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } czyli \ pm \ sqrt {2}.
Wreszcie, jeśli zinterpretujemy rodnik jako wartość główną, otrzymamy \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} w pierwszą ćwiartkę i musimy wybrać między drugą a czwartą ćwiartką dla głównej wartości \ sqrt {-i}. Reguła „najmniejszego kąta dodatniego” sugeruje drugą ćwiartkę, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2}, więc
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Trochę bałaganu, wszystkie te różne interpretacje.
Odpowiedź
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ Frac {2i \ pi} {3}} = – \ Displaystyle \ Frac {1} {2} + i \ Displaystyle \ Frac {\ sqrt3} {2}
\ omega jest trzeci pierwiastek z jednostki: z ^ 3 = 1.
Pierwiastki tego równania to: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Mamy: u ^ 3 = 2 + 2i i (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
A więc:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ lewo (\ Displaystyle \ Frac {u} {- 1 + i} \ prawej) ^ 3 = 1
\\\ iff \ Displaystyle \ Frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ tekst {z} \; k \ w {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
A więc:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Otrzymujemy:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {lub} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ lewo (- \ Displaystyle \ Frac {1} {2} + i \ Displaystyle \ Frac {\ sqrt3} {2} \ prawej)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {lub} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ lewo (- \ Displaystyle \ Frac {1} {2} -i \ Displaystyle \ Frac {\ sqrt3} {2} \ prawej)} = 1+ \ sqrt3