Najlepsza odpowiedź
Jeśli nie trollujesz, zakładam, że chcesz uzyskać dokładną wartość \ sin 38. (Dlaczego? Kto wie.) Opiszę, jak uzyskać tę dokładną wartość. Używamy dwóch twierdzeń. Jeśli znamy dokładną wartość \ sin x, możemy obliczyć dokładną wartość \ sin nx dla wszystkich liczb całkowitych n. Ponadto, jeśli znamy dokładną wartość \ sin x, możemy obliczyć dokładną wartość \ sin \ frac {x} {3}.
Powyższe oznacza, że gdybyśmy znaleźli \ sin 1, możemy znaleźć \ sin N dla dowolnej liczby całkowitej N.
Więc udowodnimy twierdzenia:
Asercja 1 : Jeśli znamy dokładną wartość \ sin x, możemy znaleźć dokładną wartość \ sin nx dla dodatniej liczby całkowitej n. (Następują wartości ujemne).
Dowód : używamy indukcji na n. Oczywiście twierdzenie to jest prawdziwe dla n = 1. Przed kontynuowaniem zwróć uwagę, że znajomość \ sinx implikuje znajomość \ cos x. Teraz \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x i gotowe.
Asercja 2 : Jeśli znamy dokładną wartość \ sin x, możemy znaleźć dokładną wartość \ sin \ frac {x} {3}.
Dowód : ten jest bardziej interesujący. Jako argument niech \ sin \ frac {x} {3} = a. Teraz \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} lub 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 gdzie wiemy \ sin x. Ponieważ jest to sześcienny, można go dokładnie rozwiązać.
Znamy \ sin 36 i \ sin 30, więc znamy \ sin 6 i stąd \ sin 3 i wreszcie \ sin 1.
Odpowiedź
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0,2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) -0,2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 to idzie.