Najlepsza odpowiedź
Jeśli nie chcemy korzystać z tabel trygonometrycznych, możemy uzyskać przybliżoną wartość \ tan 27 ^ o używając rozwinięcia Taylora \ tan x.
Szereg Taylora funkcji o wartościach rzeczywistych lub zespolonych f (x), która jest nieskończenie różniczkowalna na liczbie rzeczywistej lub zespolonej a, jest dana wzorem / p>
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, gdzie f ^ {(n)} (a) jest wartością n ^ {tej pochodnej przy x = a.
Zauważ, że kąt należy wyrazić w radianach.
Niech f (x) = \ tan x i a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radianów.
\ Rightarrow \ qquad f „(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3} i,
\ qquad f „” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Chcemy mieć wartość \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Następnie, używając tylko pierwszych dwóch wyrazów z serii Taylora, otrzymujemy ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ ok \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0,507537.
Błąd w tej wartości to -0,3902 \\%.
Używając tylko pierwszych trzech wyrazów z szeregu Taylora otrzymujemy,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f „” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0,508592.
Błąd w tej wartości to -0,1831 \\%.
Jeśli chcemy większej dokładności, możemy użyć więcej terminów.