Najlepsza odpowiedź
Większość napotykanych sekwencji jest podana za pomocą wzoru na n- th termin: a\_n = f (n) gdzie f jest funkcją zbudowaną z operacji arytmetycznych, potęg, pierwiastków, potęgowania, logów i czasami innych funkcji. Pytanie brzmi, co się dzieje, gdy n zbliża się do nieskończoności. Czy \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) jest liczbą skończoną, to znaczy, czy sekwencja jest zbieżna, czy też dzieje się coś innego? Czy odbiega do \ infty czy do – \ infty, czy oscyluje między dwiema różnymi liczbami, czy też cały chaos się rozpada?
Jeśli „nie interesuje Cię pewność, ale odpowiedź, która zadowala Cię” w większości sytuacji będzie dobrze, możesz po prostu obliczyć a\_ {1000} lub gdzieś daleko w sekwencji. W przypadku większości napotkanych sekwencji powinno to odpowiedzieć na twoje pytanie.
Ale to nie jest twoje pytanie. Naprawdę chcesz wiedzieć, czy sekwencja jest zbieżna, czy nie. Chcesz pewności i jeśli to możliwe, chcesz aby wiedzieć, do jakiej liczby się zbiega. Niestety, sekwencje formularzy są nieograniczone. Najlepsze, co możesz zrobić, to mieć kilka zasad, które będą działać w większości przypadków. Oto kilka zasad.
- Funkcje wymierne , czyli ilorazy wielomianów, na przykład a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Możesz zobaczyć, co się stanie, jeśli podzielisz licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n, która jest obecna. Możesz podsumować to w twierdzeniu: Jeśli stopień licznika jest taki sam jak stopień mianownika, to ciąg zbiega się do stosunku wiodących współczynników (w przykładzie 4/3); jeśli mianownik ma wyższy stopień, to ciąg zbiega się do 0; jeśli licznik ma wyższą wartość r stopień, to sekwencja rozbiega się do \ infty, jeśli wiodące współczynniki mają ten sam znak, lub do – \ infty, jeśli mają różne znaki.
- Iloraz funkcji algebraicznych, które obejmują pierwiastki, takie jak a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Podzielić licznik i mianownik przez potęgę ułamkową n. W tym przykładzie \ sqrt n wystarczy.
- Kompozycje , na przykład a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Funkcja zewnętrzna, sinus, jest funkcją ciągłą, a funkcje ciągłe zachowują granice. W tym przypadku mamy \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, więc pierwotna sekwencja zbliża się do \ sin0 = 0. Ale rozważ zamiast tego a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Tutaj mamy \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, a \ sin x oscyluje między –1 a 1 jako x \ do \ infty, więc ta sekwencja nie ma granic.
- Względne rzędy wzrostu . Często będziesz mieć a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)}, gdzie zarówno f (n) \ do \ infty i g (n) \ do \ infty. Co się stanie z ilorazem zależy od tego, czy licznik lub mianownik rośnie szybciej. Użyję symbolu \ prec, aby wskazać, że jeden rośnie wolniej niż inny, to znaczy, że f \ prec g oznacza \ lim\_ {n \ do \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Warto znać kilka z nich i tak jest. Na przykład n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. To są wszystkie przykłady wielomianów, ale powinieneś znać kilka innych funkcji \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L „Reguła Hôpital” . Chociaż sekwencje są dyskretne, jeśli ciągłe ograniczenie zbiega się lub rozbiega się do plusa lub minus nieskończoności, to tak ogranicza dyskretne. Na przykład, jeśli otrzymałeś a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} i nie użyłeś wyżej wymienionych zamówień, możesz użyć L „Hôpital” s. Ponieważ w granicach, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, licznik i mianownik zbliżają się do nieskończoności, granica ta będzie taka sama jak limit, w którym zastępujesz licznik i mianownik ich pochodnymi, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, a jeśli nadal nie jest jasne, co się stanie, ponieważ jest to również formularz \ infty / \ infty, możesz użyć reguły L „Hôpital” ag ain.
- Specjalne ograniczenie dla e ^ x. Czasami jest to używane jako definicja funkcji wykładniczej. Warto wiedzieć i pojawia się często w użytecznych sekwencjach. (1 + x / n) ^ n \ do e ^ x
Jestem pewien, że istnieje więcej technik. Nie zapomnij o uproszczeniu korzystania z algebry.
Odpowiedź
Kilka testów do testowania zbieżności sekwencji.
1. Biorąc pod uwagę sekwencję a\_n i jeśli mamy funkcję f (x) taką, że f (n) = a\_n i \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L to \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Jeśli \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0, to \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Sekwencja {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty zbiega się, jeśli -1 \ ler \ le1.
4. Dla sekwencji \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, to a\_n jest zbieżne z limitem L.
Źródło: Pauls Online Notes: Calculus II