Najlepsza odpowiedź
Możemy podejść do tego geometrycznie. Istnieją trzy rozwiązania: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° i 1 / \_240 ° w postaci biegunowej. Musimy wziąć pod uwagę dziedzinę liczb zespolonych. (w tej chwili nie jestem w stanie przedstawić diagramów, więc przepraszam). Używanie długopisu i kartki podczas czytania tej odpowiedzi byłoby bardzo przydatne.
Uwaga: „/ \_” oznacza „kąt”. Kąt jest mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara w stosunku do dodatniej osi rzeczywistej (dodatnia oś x). Ponadto 0 ° to to samo, co 360 °, 720 ° i tak dalej. Każdy kąt θ jest taki sam jak + 360 °.
Geometrycznie, jeśli przedstawimy 1 na płaszczyźnie zespolonej jako 1 + 0i (1,0); jest to równe 1 / \_ 0 ° lub 1 / \_360 ° w postaci polarnej. Moglibyśmy narysować okrąg jednostkowy ze środkiem na początku 0,0. Dzieląc okrąg jednostkowy 360 ° (lub 2π radianów) na 3 równe części, otrzymujemy trzy wymagane pierwiastki.
Pierwszy pierwiastek przy 1 / \_0 ° lub / \_360 °. [Jeśli wykonam 3 pełne obroty (360 °) od (1,0) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (pomnożę przez siebie trzykrotnie lub sześcian), dochodzę do tego samego punktu: 1 / \_0 °. Uwaga: jeśli wykonam 3 „bez obrotów” (0 °). Również dochodzę do tego samego punktu!]
Dla pozostałych dwóch pierwiastków:
- Zaczynając od 1 / \_0 °, jeśli zrobię 1/3 (jedną trzecią lub 120 °) obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (jeden pomnożony przez 1 / \_120 °), dochodzę do 1 / \_120 °, co jest drugim pierwiastkiem. Jeśli stamtąd wykonam jeszcze dwie 1/3 obrotu, dochodzę do 1 / \_360 °, czyli ponownie 1 / \_ 0 °. (więc wykonałem trzy obroty 1/3 lub 120 ° lub wykonałem kostkę). Stąd sześcian 1 / \_120 ° to również 1.
- Zaczynając od 1 / \_0 °, jeśli wykonam 2/3 (240 °) obrotu, dojdę do 1 / \_240 °, co jest trzeci pierwiastek, jeśli wykonam jeszcze jedną 2/3 obrotu dochodzę do 1 / \_480 °, tj. do 1 / \_120 ° i przy jeszcze jednym 2/3 obrotu dochodzę do 1 / \_720 °, czyli z powrotem do 1 / \_0 °. więc wykonałem trzy obroty o 2/3 lub 240 ° lub wykonałem kostkę). Stąd sześcian 1 / \_240 ° to również 1.
Pierwiastki to 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. oddzielone równo 120 ° na okręgu jednostkowym.
Możesz przekonwertować wartości do postaci prostokątnej i zobaczyć, że odpowiedzi są takie same, jak te podane przez innych.
Ogólnie, aby uzyskać n-ty pierwiastek dzielimy okrąg jednostkowy na n równych części lub równo rozmieszczonych kątów 360 / n °, a korzenie leżą na zewnętrznej granicy koła. Tak więc, ponieważ 360/5 = 72 °, 5 pierwiastek jedności to: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Odpowiedź
Niech z takie z ^ 3 = 1
kluczowy krok, nie bierz pierwiastka sześciennego z obu stron, w przeciwnym razie przegapisz 2 korzenie. Zamiast tego przepisz równanie jako:
z ^ 3–1 = 0
czynnik lewa strona
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 ma 2 zespolone pierwiastki:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)