Najlepsza odpowiedź
Główny pierwiastek sześcienny z -216 to nie -6
Główny pierwiastek sześcienny z -216 to 3 + 3i (sqrt (3)), gdzie i ^ 2 = -1
Aby znaleźć pierwiastki sześcienne od -216, niech x ^ 3 = -216
Następnie x ^ 3 + 216 = 0, co można rozłożyć na czynniki za pomocą rozkładu kostek od 216 = 6 ^ 3
(a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2 )
(a ^ 3 + b ^ 3) = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)
(x ^ 3 + 6 ^ 3) = (x + 6) (x ^ 2–6x + 36) = 0
Aby rozwiązać, ustaw obie części na zero, ponieważ jeśli jeden jest zerowy, zero razy cokolwiek jest równe zero
(x + 6) = 0, x = 6
(x ^ 2-6x + 36) = 0, które można rozwiązać, wypełniając kwadrat
(x ^ 2-6x + c) = – 36 + c, gdzie c jest stałą. c = (b / 2) ^ 2, a b wynosi 6, więc c = 3 ^ 2 = 9
(x ^ 2–6x + 9) = – 27, (x ^ 2–6x + 9) czynniki w (x-3) (x-3) = (x-3) ^ 2
(x-3) ^ 2 = -27, (x-3) = sqrt (-27), x = 3 + sqrt (-27), x = 3 – sqrt (-27)
sqrt (-27) = (sqrt (-1x9x3)) = sqrt (-1) xsqrt (9) xsqrt (3) = 3i (sqrt (3))
x = 3 + 3i (sqrt (3), x = 3–3i (sqrt (3))
A więc sześcian pierwiastki -216 to -6, 3 + 3i (sqrt (3)), 3–3i (sqrt (3))
Podczas znajdowania pierwiastka liczby, pierwiastek główny jest pierwiastkiem najbliższym dodatnia oś rzeczywista na płaszczyźnie zespolonej. Jeśli dwa pierwiastki są jednakowo oddalone od dodatniej osi rzeczywistej i są najbliżej, pierwiastek z dodatnim składnikiem urojonym jest pierwiastkiem głównym. Ponieważ 3 + 3i (sqrt (3)) i 3–3i ( sqrt (3)) są bliżej dodatniej osi rzeczywistej niż -6 i są równie odległe, głównym rozwiązaniem jest 3 + 3i (sqrt (3)), niezależnie od tego, czy -6 jest rozwiązaniem rzeczywistym
Dlatego główny pierwiastek sześcienny z -216 to 3 + 3i (sqrt (3))
Odpowiedź
Jeśli chodzi o „Co \ sqrt {216} uproszczone?”, moja podstawowa odpowiedź brzmiałaby: \ sqrt {216} jest już tak „proste”, jak ok zrób to. Jest to „liczba niewymierna, która podniesiona do kwadratu daje liczbę całkowitą 216”. Nie można uzyskać dużo „prostszego” niż to.
Niektórzy mogą się nie zgodzić i powiedzieć, że można „uprościć” \ sqrt {216}, biorąc pod uwagę 216 jako czynniki pierwsze. To dałoby: \ sqrt {216} \\ = \ sqrt {(2) (2) (2) (3) (3) (3)} \\ = 6 \ sqrt {2} \ sqrt {3} \ \ = 6 \ sqrt {6} Ale czy te dwie ostatnie formy są rzeczywiście „prostsze”? Liczby są mniejsze, ale myślę, że koncepcyjnie te wyrażenia są w rzeczywistości bardziej złożone.
Więc moja odpowiedź brzmi: \ sqrt {216} uproszczona to \ sqrt {216}