Jaki jest pierwiastek sześcienny z 9?

Najlepsza odpowiedź

Pierwiastek sześcienny z 9 to 2,083 około

Krok 1 : Najpierw znajdź integralną część Odpowiedź leży między 2 a 3, ponieważ 9 jest między 8 (2 ^ 3) i 27 (3 ^ 3) Tak więc część całkowa to 2 Krok 2: Podziel 9 przez kwadrat części całkowitej ( 2 ^ 2 = 4 ), co da ci 2.25, Teraz odejmij część całkową ( 2 ) od 2.25 , , co będzie 0,25 Teraz podziel to przez 3, ( 0,25 / 3 = 0,08333…) Krok 3: Dodaj to do części integralnej 2 + 0,083… = około 2,083

rzeczywista odpowiedź na ∛9 = 2,08008382305 ( pobrana z Googel )

Odpowiedź

Opublikowane pytanie brzmi: Co to jest pierwiastek sześcienny z -27? ”

Plakat nie zawierał w pytaniu, jaki jest kontekst. Podczas omawiania funkcji potęgowych, które są pierwiastkami, podobnie jak w przypadku wielu innych funkcji, funkcja nie jest całkowicie zdefiniowana ani wyrażona bez określenia dziedziny i kodomeny funkcji. (Tak, w przeciwieństwie do tego, co jest popularne, gdy gimnazjalista ma ćwiczenia z algebry, aby znaleźć dziedzinę funkcji, która naprawdę ma znaleźć domenę maksymalną w kontekst liczb rzeczywistych , definicja i użycie funkcji nie jest kompletne [i często, jak tutaj, całkowicie nieodpowiednie] bez określenia zamierzonej domeny (jakie wartości zostanie zastosowana funkcja), kodomeny (jakie wartości funkcja może wytworzyć) oraz relacji przejścia z elementów domeny do elementów domeny kodowej. Wkrótce zobaczymy, dlaczego są one ważne.

Zwróć uwagę, że rzeczownik w liczbie pojedynczej ( root zamiast root ) i odpowiadający w opublikowanym pytaniu użyto formy czasownika liczby pojedynczej ( to zamiast ). Tam to trzy liczby zespolone, z których jedna jest real, którego sześcian to −27. Jeśli plakat chce, aby domena i kodomena były R (liczby rzeczywiste), jest tylko jeden wybór; jeśli plakat chce, aby domena i domena kodowa to C (liczby zespolone), to istnieją trzy możliwości, z których plakat najwyraźniej chce jednej, którą następnie założylibyśmy być głównym korzeniem sześciennym.

Najpierw przyjrzyjmy się R jako domenie i kodomenie. Jeśli zdefiniujemy funkcję: f : R R takie, że f ( x ) = x ³, a następnie różne wartości x są mapowane na różne wartości f ( x ) [to znaczy różne wartości x ³], co oznacza, że ​​ f jest iniekcyjny. Ponadto dla każdej liczby rzeczywistej y istnieje liczba rzeczywista x taka, że ​​ x ³ = y , co oznacza f jest domniemany. Ponieważ f jest zarówno iniekcyjne, jak i surjektywne, f jest bijektywne i odwracalne. Odwzorowanie funkcji korzenia kostki R R jest odwrotnością f (z f , czasami określane jako funkcja kostki w R ). Dzięki bijektywności wiemy, że pierwiastek sześcienny jest unikalny. Jest tylko jedna wartość, której sześcian to -27, a ta liczba to -3. Dlatego jedyną wartością, która może być pierwiastkiem sześciennym z -27 jest -3.

Po drugie, przyjrzyjmy się, czy C jest domena i kodomena. Jeśli zdefiniujemy funkcję: f : C C takie, że f ( x ) = x ³, nie jest już prawdą, że f jest iniekcyjny.Dla każdego niezerowego y będą trzy wartości x , które będą mapowane na y . Na przykład f (−2) = f (1 + i√3) = f (1 – i√3) = −8. Ponieważ f nie jest iniekcyjny, nie ma znaczenia, że ​​ f jest nadrzędny, a f nie jest ani bijektywny, ani odwracalny. Jednak matematycy opracowali nieco arbitralne, ale proste i spójne kryterium określające, który z trzech wyborów stanowi główny pierwiastek sześcienny liczby zespolonej. Jest to wartość zamierzona, gdy mówimy „ pierwiastek sześcienny wyrażenia „[liczba pojedyncza]. Proces jest następujący: * Która z trzech możliwości ma największą realną rolę? Jeśli odpowiedź daje unikalną wartość [da jedną lub dwie wartości], to ta wartość jest pierwiastkiem sześciennym. * Jeśli odpowiedź na pierwsze pytanie nie jest wyjątkowa, bierzemy pod uwagę, która z dwóch wartości uzyskanych w pierwszym pytaniu ma pozytywną część urojoną. Dla −27 dostępne są trzy możliwości: −3, 1,5 + 1,5i√3 i 1,5 – 1,5i√3. Istnieją dwie wartości, które mają wspólną rolę największej części rzeczywistej: 1,5 + 1,5i√3 i 1,5 – 1,5i√3. Ten, który ma dodatnią część urojoną, to 1,5 + 1,5i√3, a więc jest to główny pierwiastek sześcienny −27 w dziedzinie zespolonej.

Teraz widzimy, jak ważne jest określenie domeny, ponieważ skończyliśmy z dwiema różnymi odpowiedziami, po jednej dla każdej z dwóch domen: Pierwiastek sześcienny -27 w domenie rzeczywistej to -3. Pierwiastek sześcienny liczby −27 w dziedzinie zespolonej to 1,5 + 1,5i√3. Czy to wydaje się dziwne? Nie jest R C , więc nie jest liczbą rzeczywistą −27 taką samą jak liczba zespolona −27? Dlaczego ta sama liczba nie miałaby tego samego pierwiastka sześciennego? Dziwne rzeczy mogą się wydarzyć w złożonej płaszczyźnie, z których nawet nie zdajemy sobie sprawy (dopóki nie mamy złożonego kursu analizy), ale w rzeczywistości mają one wpływ nawet wtedy, gdy koncentrujemy się na liczbach rzeczywistych (na zbieżność szeregów potęgowych funkcji o wartościach rzeczywistych wpływa położenie osobliwości w płaszczyźnie zespolonej) złożonego rozszerzenia funkcji. Funkcja pierwiastka sześciennego, w połączeniu z funkcją logarytmiczną ln, w płaszczyźnie zespolonej ma tak zwane cięcie gałęzi łączące punkty rozgałęzienia w punkcie 0 i „nieskończoność”, a cięcie gałęzi jest konwencjonalnie wzdłuż ujemnej osi rzeczywistej (nie chcemy zachowują się śmiesznie wzdłuż dodatniej osi rzeczywistej i nie chcą asymetrii między dodatnią urojoną półpłaszczyzną a ujemną urojoną półpłaszczyzną). Kluczowym zachowaniem cięć gałęzi jest nieciągłość – wartość funkcji z cięciem gałęzi ma określone przejście przy cięciu gałęzi, tak że wartość tylko po jednej stronie cięcia gałęzi i wartość po drugiej stronie Cięcie gałęzi nie zbliżają się do siebie, ponieważ dwa punkty zbliżają się do siebie. Wszędzie indziej funkcja może być ciągła. Weźmy na przykład na okręgu o promieniu 27 pośrodku 0 na płaszczyźnie zespolonej. Przy wartości 27 główny pierwiastek sześcienny jest traktowany jako 3. Podążaj za kółkiem dookoła -27 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (przez dodatnią wyimaginowaną półpłaszczyznę), a pierwiastek sześcienny zmieni się w płynny, ciągły sposób, osiągając 1,5 + 1,5i √3 przy -27. Jeśli zamiast tego zaczniesz od 27 i podążasz za okręgiem zgodnie z ruchem wskazówek zegara (przez ujemną wyimaginowaną półpłaszczyznę), pierwiastek sześcienny ponownie będzie się zmieniać w sposób ciągły, aż osiągniesz 1,5 – 1,5i√3 przy -27. Dwie granice zbliżające się do tego samego punktu z przeciwnych stron cięcia gałęzi różnią się o 3i√3, co nie równa się 0. Zatem granica pierwiastka sześciennego z x funkcja na -27 zależy od ścieżki obranej w kierunku -27, więc granica nie istnieje i funkcja nie może być tam ciągła. Zauważ, że żaden z limitów nie wynosi -3, wartość pierwiastka sześciennego -27 dla domeny R .

W rezultacie kilku matematyków (w moim ograniczonym doświadczeniu głównie Niemców), którzy nie mogą znieść takiego niedopasowania, więc uważają, że pierwiastek sześcienny wszystkich liczb ujemnych jest niezdefiniowany w kontekście domeny R . Większość matematyków nie chce nazywać pierwiastka sześciennego liczby ujemnej niezdefiniowanej w kontekście domeny R , ponieważ naruszałoby to koncepcję odwracalności bijekcji i funkcja odwrotna jest zdefiniowana na pełnym kodomenie oryginalnej funkcji, plus liczby rzeczywiste z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem, dzieleniem z wyjątkiem przez 0 i potęgi z wykładnikami liczb całkowitych zachowują się dobrze i zgodnie z oczekiwaniami po osadzeniu w C . Wiele rzeczy się psuje, gdy w grę wchodzą potęgi z wykładnikami niecałkowitymi.Ograniczenia dotyczące praw mocy są stosowane, ponieważ jeśli spróbujesz zastosować je z niecałkowitymi wykładnikami i urojonymi lub ujemnymi rzeczywistymi podstawami, otrzymasz błędne wyniki. Wiele pytań Quora dotyczy takich kwestii. Nie zdziw się obecnością tych problemów.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *