Najlepsza odpowiedź
Pierwiastek sześcienny z 9 to 2,083 około
Krok 1 : Najpierw znajdź integralną część Odpowiedź leży między 2 a 3, ponieważ 9 jest między 8 (2 ^ 3) i 27 (3 ^ 3) Tak więc część całkowa to 2 Krok 2: Podziel 9 przez kwadrat części całkowitej ( 2 ^ 2 = 4 ), co da ci 2.25, Teraz odejmij część całkową ( 2 ) od 2.25 , , co będzie 0,25 Teraz podziel to przez 3, ( 0,25 / 3 = 0,08333…) Krok 3: Dodaj to do części integralnej 2 + 0,083… = około 2,083
rzeczywista odpowiedź na ∛9 = 2,08008382305 ( pobrana z Googel )
Odpowiedź
Opublikowane pytanie brzmi: Co to jest pierwiastek sześcienny z -27? ”
Plakat nie zawierał w pytaniu, jaki jest kontekst. Podczas omawiania funkcji potęgowych, które są pierwiastkami, podobnie jak w przypadku wielu innych funkcji, funkcja nie jest całkowicie zdefiniowana ani wyrażona bez określenia dziedziny i kodomeny funkcji. (Tak, w przeciwieństwie do tego, co jest popularne, gdy gimnazjalista ma ćwiczenia z algebry, aby znaleźć dziedzinę funkcji, która naprawdę ma znaleźć domenę maksymalną w kontekst liczb rzeczywistych , definicja i użycie funkcji nie jest kompletne [i często, jak tutaj, całkowicie nieodpowiednie] bez określenia zamierzonej domeny (jakie wartości zostanie zastosowana funkcja), kodomeny (jakie wartości funkcja może wytworzyć) oraz relacji przejścia z elementów domeny do elementów domeny kodowej. Wkrótce zobaczymy, dlaczego są one ważne.
Zwróć uwagę, że rzeczownik w liczbie pojedynczej ( root zamiast root ) i odpowiadający w opublikowanym pytaniu użyto formy czasownika liczby pojedynczej ( to zamiast są ). Tam to trzy liczby zespolone, z których jedna jest real, którego sześcian to −27. Jeśli plakat chce, aby domena i kodomena były R (liczby rzeczywiste), jest tylko jeden wybór; jeśli plakat chce, aby domena i domena kodowa to C (liczby zespolone), to istnieją trzy możliwości, z których plakat najwyraźniej chce jednej, którą następnie założylibyśmy być głównym korzeniem sześciennym.
Najpierw przyjrzyjmy się R jako domenie i kodomenie. Jeśli zdefiniujemy funkcję: f : R → R takie, że f ( x ) = x ³, a następnie różne wartości x są mapowane na różne wartości f ( x ) [to znaczy różne wartości x ³], co oznacza, że f jest iniekcyjny. Ponadto dla każdej liczby rzeczywistej y istnieje liczba rzeczywista x taka, że x ³ = y , co oznacza f jest domniemany. Ponieważ f jest zarówno iniekcyjne, jak i surjektywne, f jest bijektywne i odwracalne. Odwzorowanie funkcji korzenia kostki R → R jest odwrotnością f (z f , czasami określane jako funkcja kostki w R ). Dzięki bijektywności wiemy, że pierwiastek sześcienny jest unikalny. Jest tylko jedna wartość, której sześcian to -27, a ta liczba to -3. Dlatego jedyną wartością, która może być pierwiastkiem sześciennym z -27 jest -3.
Po drugie, przyjrzyjmy się, czy C jest domena i kodomena. Jeśli zdefiniujemy funkcję: f : C → C takie, że f ( x ) = x ³, nie jest już prawdą, że f jest iniekcyjny.Dla każdego niezerowego y będą trzy wartości x , które będą mapowane na y . Na przykład f (−2) = f (1 + i√3) = f (1 – i√3) = −8. Ponieważ f nie jest iniekcyjny, nie ma znaczenia, że f jest nadrzędny, a f nie jest ani bijektywny, ani odwracalny. Jednak matematycy opracowali nieco arbitralne, ale proste i spójne kryterium określające, który z trzech wyborów stanowi główny pierwiastek sześcienny liczby zespolonej. Jest to wartość zamierzona, gdy mówimy „ pierwiastek sześcienny wyrażenia „[liczba pojedyncza]. Proces jest następujący: * Która z trzech możliwości ma największą realną rolę? Jeśli odpowiedź daje unikalną wartość [da jedną lub dwie wartości], to ta wartość jest pierwiastkiem sześciennym. * Jeśli odpowiedź na pierwsze pytanie nie jest wyjątkowa, bierzemy pod uwagę, która z dwóch wartości uzyskanych w pierwszym pytaniu ma pozytywną część urojoną. Dla −27 dostępne są trzy możliwości: −3, 1,5 + 1,5i√3 i 1,5 – 1,5i√3. Istnieją dwie wartości, które mają wspólną rolę największej części rzeczywistej: 1,5 + 1,5i√3 i 1,5 – 1,5i√3. Ten, który ma dodatnią część urojoną, to 1,5 + 1,5i√3, a więc jest to główny pierwiastek sześcienny −27 w dziedzinie zespolonej.
Teraz widzimy, jak ważne jest określenie domeny, ponieważ skończyliśmy z dwiema różnymi odpowiedziami, po jednej dla każdej z dwóch domen: Pierwiastek sześcienny -27 w domenie rzeczywistej to -3. Pierwiastek sześcienny liczby −27 w dziedzinie zespolonej to 1,5 + 1,5i√3. Czy to wydaje się dziwne? Nie jest R ⊂ C , więc nie jest liczbą rzeczywistą −27 taką samą jak liczba zespolona −27? Dlaczego ta sama liczba nie miałaby tego samego pierwiastka sześciennego? Dziwne rzeczy mogą się wydarzyć w złożonej płaszczyźnie, z których nawet nie zdajemy sobie sprawy (dopóki nie mamy złożonego kursu analizy), ale w rzeczywistości mają one wpływ nawet wtedy, gdy koncentrujemy się na liczbach rzeczywistych (na zbieżność szeregów potęgowych funkcji o wartościach rzeczywistych wpływa położenie osobliwości w płaszczyźnie zespolonej) złożonego rozszerzenia funkcji. Funkcja pierwiastka sześciennego, w połączeniu z funkcją logarytmiczną ln, w płaszczyźnie zespolonej ma tak zwane cięcie gałęzi łączące punkty rozgałęzienia w punkcie 0 i „nieskończoność”, a cięcie gałęzi jest konwencjonalnie wzdłuż ujemnej osi rzeczywistej (nie chcemy zachowują się śmiesznie wzdłuż dodatniej osi rzeczywistej i nie chcą asymetrii między dodatnią urojoną półpłaszczyzną a ujemną urojoną półpłaszczyzną). Kluczowym zachowaniem cięć gałęzi jest nieciągłość – wartość funkcji z cięciem gałęzi ma określone przejście przy cięciu gałęzi, tak że wartość tylko po jednej stronie cięcia gałęzi i wartość po drugiej stronie Cięcie gałęzi nie zbliżają się do siebie, ponieważ dwa punkty zbliżają się do siebie. Wszędzie indziej funkcja może być ciągła. Weźmy na przykład na okręgu o promieniu 27 pośrodku 0 na płaszczyźnie zespolonej. Przy wartości 27 główny pierwiastek sześcienny jest traktowany jako 3. Podążaj za kółkiem dookoła -27 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (przez dodatnią wyimaginowaną półpłaszczyznę), a pierwiastek sześcienny zmieni się w płynny, ciągły sposób, osiągając 1,5 + 1,5i √3 przy -27. Jeśli zamiast tego zaczniesz od 27 i podążasz za okręgiem zgodnie z ruchem wskazówek zegara (przez ujemną wyimaginowaną półpłaszczyznę), pierwiastek sześcienny ponownie będzie się zmieniać w sposób ciągły, aż osiągniesz 1,5 – 1,5i√3 przy -27. Dwie granice zbliżające się do tego samego punktu z przeciwnych stron cięcia gałęzi różnią się o 3i√3, co nie równa się 0. Zatem granica pierwiastka sześciennego z x funkcja na -27 zależy od ścieżki obranej w kierunku -27, więc granica nie istnieje i funkcja nie może być tam ciągła. Zauważ, że żaden z limitów nie wynosi -3, wartość pierwiastka sześciennego -27 dla domeny R .
W rezultacie kilku matematyków (w moim ograniczonym doświadczeniu głównie Niemców), którzy nie mogą znieść takiego niedopasowania, więc uważają, że pierwiastek sześcienny wszystkich liczb ujemnych jest niezdefiniowany w kontekście domeny R . Większość matematyków nie chce nazywać pierwiastka sześciennego liczby ujemnej niezdefiniowanej w kontekście domeny R , ponieważ naruszałoby to koncepcję odwracalności bijekcji i funkcja odwrotna jest zdefiniowana na pełnym kodomenie oryginalnej funkcji, plus liczby rzeczywiste z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem, dzieleniem z wyjątkiem przez 0 i potęgi z wykładnikami liczb całkowitych zachowują się dobrze i zgodnie z oczekiwaniami po osadzeniu w C . Wiele rzeczy się psuje, gdy w grę wchodzą potęgi z wykładnikami niecałkowitymi.Ograniczenia dotyczące praw mocy są stosowane, ponieważ jeśli spróbujesz zastosować je z niecałkowitymi wykładnikami i urojonymi lub ujemnymi rzeczywistymi podstawami, otrzymasz błędne wyniki. Wiele pytań Quora dotyczy takich kwestii. Nie zdziw się obecnością tych problemów.