Najlepsza odpowiedź
Niestety nie istnieje żadna prosta metoda. Istnieją jednak wzorce dla końcowych cyfr, chociaż to inny temat.
I tak oto wzór: Sumy czynnikowe – z Wolfram MathWorld
=
gdzie
to całka wykładnicza ,
to część rzeczywista z,
to funkcja gamma , a i to liczba urojona .
Odpowiedź
Sztuczka w przypadku strasznych problemów z liczbami, takich jak ta, jest t o znaleźć wzorce.
Po pierwsze, musimy pozbyć się tych wszystkich brzydkich liczb związanych z gigantycznymi silniami i wykładnikami. Ponieważ patrzymy tylko na ostatnią cyfrę, każda cyfra poza nią (cyfra dziesiątek, cyfr setek itd.) Nie wpłynie na nią. (To dlatego, że wszystkie wartości pozostałych cyfr są wielokrotnościami 10, ale ponieważ 10> 1 i każda wielokrotność 10 kończy się na 0, nie ma to wpływu na cyfrę jednostek).
Nasz najlepszy zakład to aby rozpocząć od znalezienia cyfry jednostki tej liczby bez wykładnika (tylko podstawa). Ponieważ kilka pierwszych silni jest łatwych do obliczenia, robimy. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320…. Dlaczego ciągle kończą się na zero?
Dzieje się tak z powodu rozłożenia na czynniki pierwsze / span>. Jak wiesz, 10 = 5 \ cdot 2. Jeśli na czynniki pierwsze na czynniki składają się 5 i 2, to jest to wielokrotność dziesięciu (według właściwości rozdzielczej). Ponieważ ostatnia cyfra liczby w dziesiątce (której używamy) jest w zasadzie częścią, która nie jest podzielna przez 10, w wielokrotnościach 10 jest to 0.
Teraz ponownie spojrzymy na silnię .
1 = 1
2 = 1 * 2
3 = 1 * 2 * 3
4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3
5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5
Ponieważ silnia cokolwiek wyższe niż 5 będzie wielokrotnością 5 !, wiesz, że będzie miało 2 i 5 w pierwszym rozkładzie, więc wszystkie kończą się na 0. Hura! Teraz wystarczy spojrzeć na 1 !, 2!, 3! I 4 !. Jak już obliczyliśmy, ich suma to 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, których ostatnia cyfra kończy się na 3.
Nasz problem to 3 ^ 33. Ponownie próbujemy szukać wzorców. Przyjrzyjmy się niektórym potęgom trójki!
3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….
Hmmmm. Cykle: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… .. (Uwaga: nie wiem, dlaczego tak się dzieje. Niech ktoś mi powie!) I każdy wykładnik będący wielokrotnością 4 prowadzi do kończące się na 1, jak widać. 32 jest wielokrotnością 4, więc 3 ^ 32 kończy się na 1. Teraz po prostu patrzymy na następną liczbę w cyklu: 3! Dlatego kończy się na 3.