Najlepsza odpowiedź
Wyprowadzenie tej sumy jest podobne do wyprowadzenia dla
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Niech
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Ponieważ dodawanie jest przemienne, możemy napisać S w odwrotnej kolejności
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Dodanie tych dwóch reprezentacje termin po terminie daje nam
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ dots (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n razy}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Stąd oczywiście wynika, że
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Jest to znany wynik, który można udowodnić za pomocą indukcji, którą zrobię teraz. Aby to zrobić, musimy pokazać, że
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Uwaga: używam H\_ {0} jako skróconego odniesienia do stwierdzenia hipotezy)
Aby pokazać, że H\_ { 0} zachodzi poprzez indukcję, musimy pokazać, że równość zachodzi dla przypadku podstawowego n = 1 i przypadku indukcji n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Podstawowy przypadek jest oczywisty, ponieważ 1 = 1 ^ {2} = 1, co daje nam przypadek indukcyjny.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Widzimy, że równość zachodzi dla k + 1, a zatem udowadniając, że H\_ {0} jest rzeczywiście prawdą. W ten sposób możemy definitywnie stwierdzić, że nasze wyprowadzenie (6) jest rzeczywiście poprawne.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Odpowiedź
Popatrzmy i zobaczmy. Każdy może przynajmniej obserwować kilka pierwszych wystąpień, prawda?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Czy rozpoznajesz teraz liczby po prawej stronie?
1,4,9,16,25, \ ldots
Tak! to idealne kwadraty. 1 \ times 1, 2 \ times 2, 3 \ times 3, 4 \ times 4 i tak dalej.
Mamy teraz przypuszczenie. Przetestujmy to:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Tak! Sześć najmniejszych liczb nieparzystych daje razem 6 ^ 2, tak jak przewidywaliśmy. Możesz spróbować kilku więcej: to działa.
Jeśli jesteśmy fizykami, zatrzymamy się na tym. Zrobiliśmy obserwację, postawiliśmy hipotezę, przetestowaliśmy naszą hipotezę eksperymentalnie raz i dwa sto razy, to zawsze działa, zrobione. Nasza teoria jest poprawna, dopóki eksperyment jej nie obali.
Ale my jesteśmy matematykami, prawda? Wymagamy dowodu. Istnieje mnóstwo rygorystycznych dowodów tego miłego, małego faktu.
Ale jest też krystalicznie czysty dowód wizualny. Oto on:
EDYCJA: wiele osób prosiło o rygorystyczny dowód. Oto stosunkowo prosty dowód, który można wyprowadzić z tego wizualnego dowodu.
Zauważamy, że liczby nieparzyste są tylko różnice między kolejnymi kwadratami, na przykład:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
i tak dalej. Dlatego kiedy je dodamy, wszystko się anuluje oprócz ostatniego kwadratu:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Więc teraz zapiszmy to formalnie dla dowolnej liczby dodawanych liczb nieparzystych. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
a więc suma pierwszych n liczb nieparzystych, czyli
\ Displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
jest równe
\ Displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED